数学3 接線・不等式 問題 9 解説

方針・初手

一方の曲線上の点における接線の方程式を求め、それが他方の曲線にも接する条件を考える。あるいは、それぞれの曲線上の点における接線の方程式を求め、それらが一致する条件を係数比較によって求める。いずれにせよ、接点の座標を変数でおくことが出発点となる。

解法1

$y = x^2$ 上の点 $(a, a^2)$ における接線の方程式を求める。 $y' = 2x$ より、接線の方程式は以下のようになる。

$$y - a^2 = 2a(x - a)$$

すなわち、

$$y = 2ax - a^2 \quad \cdots \text{(1)}$$

この直線が $y = \frac{1}{x}$ に接する条件を求める。 $y = \frac{1}{x}$ と (1) を連立して $y$ を消去すると、次の式を得る。

$$\frac{1}{x} = 2ax - a^2$$

ここで、$x \neq 0$ であるから、両辺に $x$ をかけて整理すると、以下のようになる。

$$2ax^2 - a^2x - 1 = 0 \quad \cdots \text{(2)}$$

もし $a = 0$ であれば、(2) は $-1 = 0$ となり成り立たないため、$a \neq 0$ である。 したがって、(2) は $x$ についての2次方程式となる。直線 (1) が曲線 $y = \frac{1}{x}$ に接するための条件は、2次方程式 (2) が重解をもつことである。(2) の判別式を $D$ とすると、$D = 0$ となればよい。

$$D = (-a^2)^2 - 4 \cdot 2a \cdot (-1) = 0$$

$$a^4 + 8a = 0$$

$$a(a^3 + 8) = 0$$

$a$ は実数であり、$a \neq 0$ であるから、次が成り立つ。

$$a^3 = -8$$

これを解くと、$a = -2$ を得る。 これを (1) に代入すると、求める接線の方程式は次のようになる。

$$y = 2(-2)x - (-2)^2 = -4x - 4$$

解法2

2つの曲線 $y = x^2$ と $y = \frac{1}{x}$ の両方に接する直線を考える。 $y = x^2$ 上の点 $(a, a^2)$ における接線の方程式は、解法1と同様に以下のようになる。

$$y = 2ax - a^2 \quad \cdots \text{(1)}$$

一方、$y = \frac{1}{x}$ 上の点 $\left(b, \frac{1}{b}\right)$ （ただし $b \neq 0$）における接線の方程式を求める。 $y' = -\frac{1}{x^2}$ より、接線の方程式は以下のようになる。

$$y - \frac{1}{b} = -\frac{1}{b^2}(x - b)$$

すなわち、

$$y = -\frac{1}{b^2}x + \frac{2}{b} \quad \cdots \text{(3)}$$

(1) と (3) が同じ直線を表すとき、それぞれの傾きと $y$ 切片が等しくなる。したがって、次の連立方程式が成り立つ。

$$\begin{cases} 2a = -\frac{1}{b^2} & \cdots \text{(4)} \\ -a^2 = \frac{2}{b} & \cdots \text{(5)} \end{cases}$$

(4) より $a \neq 0$ である。 (5) を変形すると $b = -\frac{2}{a^2}$ となるので、これを (4) に代入する。

$$2a = -\frac{1}{\left(-\frac{2}{a^2}\right)^2}$$

$$2a = -\frac{a^4}{4}$$

$$8a = -a^4$$

$$a^4 + 8a = 0$$

$$a(a^3 + 8) = 0$$

$a \neq 0$ より、実数 $a$ は $a = -2$ と定まる。 (5) に代入すると $b = -\frac{1}{2}$ となり、$b \neq 0$ を満たす。 $a = -2$ を (1) に代入して、共通接線の方程式を得る。

$$y = -4x - 4$$

解説

2つの曲線の共通接線を求める典型問題である。本問のように一方が2次関数の場合は、解法1のように片方の曲線上における接線を立式し、他方の曲線の方程式と連立して「判別式 $= 0$」を用いる手法が計算量を抑えやすい。 解法2のように接点を2つ設定して「係数比較」を行う手法は、2次関数以外の曲線同士の共通接線を求める場合にも汎用的に使える方法である。解法2を選択した場合、分母に文字を含む式を扱うため、変数が $0$ にならないことの確認を忘れないようにしたい。

答え

$y = -4x - 4$