数学3 接線・不等式 問題 11 解説

方針・初手

対数関数の差 $\log(1+x) - \log x$ の大きさを評価する不等式の証明問題である。

問題文に $x$ の変域は明記されていないが、自然対数の真数条件より $x>0$ および $1+x>0$、すなわち $x>0$ であることが大前提となる。

不等式を証明するための有効なアプローチとして、主に以下の3つが考えられる。どの手法を選択しても正答に至るが、式の形から平均値の定理や定積分を連想できると見通しが良い。

• 平均値の定理を利用する。
• 関数 $y=\frac{1}{t}$ の定積分（面積）を利用する。
• 差を関数でおき、微分を用いて増減を調べる。

解法1

関数 $f(t) = \log t$ について考える。

$x>0$ を満たす任意の $x$ に対して、関数 $f(t)$ は閉区間 $[x, x+1]$ において連続であり、開区間 $(x, x+1)$ において微分可能である。

導関数は $f'(t) = \frac{1}{t}$ であるから、区間 $[x, x+1]$ において平均値の定理を用いると、

$$ \frac{\log(x+1) - \log x}{(x+1) - x} = \frac{1}{c} $$

を満たす実数 $c$ が $x < c < x+1$ の範囲に存在する。

分母は $(x+1) - x = 1$ であるから、上の式は次のように整理できる。

$$ \log(x+1) - \log x = \frac{1}{c} $$

ここで、$x>0$ より $x$, $c$, $x+1$ はすべて正であるため、不等式 $x < c < x+1$ の各辺の逆数をとると大小関係が反転し、次の不等式を得る。

$$ \frac{1}{x+1} < \frac{1}{c} < \frac{1}{x} $$

この不等式の中辺に $\frac{1}{c} = \log(x+1) - \log x$ を代入すると、

$$ \frac{1}{1+x} < \log(1+x) - \log x < \frac{1}{x} $$

となり、与式が示された。

解法2

$x>0$ とし、関数 $y = \frac{1}{t}$ の区間 $[x, x+1]$ における定積分を考える。

定積分を計算すると、次のようになる。

$$ \int_x^{x+1} \frac{1}{t} dt = \Big[ \log t \Big]_x^{x+1} = \log(x+1) - \log x $$

一方、区間 $x \le t \le x+1$ において、関数 $y = \frac{1}{t}$ は単調に減少するため、次の不等式が成り立つ。

$$ \frac{1}{x+1} \le \frac{1}{t} \le \frac{1}{x} $$

この区間で等号は常には成り立たないため、各辺を $t$ について $x$ から $x+1$ まで定積分すると、狭義の不等式となる。

$$ \int_x^{x+1} \frac{1}{x+1} dt < \int_x^{x+1} \frac{1}{t} dt < \int_x^{x+1} \frac{1}{x} dt $$

左辺と右辺の定積分を計算すると、

$$ \frac{1}{x+1} \Big[ t \Big]_x^{x+1} < \log(x+1) - \log x < \frac{1}{x} \Big[ t \Big]_x^{x+1} $$

$$ \frac{1}{x+1} < \log(x+1) - \log x < \frac{1}{x} $$

となり、与式が示された。

解法3

$x>0$ を前提とし、左側の不等式と右側の不等式をそれぞれ独立に示す。

(i) 左側の不等式の証明

$f(x) = \log(1+x) - \log x - \frac{1}{1+x}$ とおく。

$x>0$ において $f(x)$ を微分すると、

$$ f'(x) = \frac{1}{1+x} - \frac{1}{x} + \frac{1}{(1+x)^2} $$

通分して整理すると、

$$ f'(x) = \frac{x(1+x) - (1+x)^2 + x}{x(1+x)^2} = -\frac{1}{x(1+x)^2} $$

$x>0$ のとき $f'(x) < 0$ であるから、$f(x)$ は単調に減少する。

ここで、$x \to \infty$ のときの極限を調べると、

$$ \lim_{x \to \infty} f(x) = \lim_{x \to \infty} \left( \log\left(1 + \frac{1}{x}\right) - \frac{1}{1+x} \right) = \log 1 - 0 = 0 $$

関数は単調減少し、かつ極限値が $0$ に収束するため、$x>0$ において常に $f(x) > 0$ が成り立つ。

よって、$\frac{1}{1+x} < \log(1+x) - \log x$ が示された。

(ii) 右側の不等式の証明

$g(x) = \frac{1}{x} - \log(1+x) + \log x$ とおく。

$x>0$ において $g(x)$ を微分すると、

$$ g'(x) = -\frac{1}{x^2} - \frac{1}{1+x} + \frac{1}{x} $$

通分して整理すると、

$$ g'(x) = \frac{-(1+x) - x^2 + x(1+x)}{x^2(1+x)} = -\frac{1}{x^2(1+x)} $$

$x>0$ のとき $g'(x) < 0$ であるから、$g(x)$ は単調に減少する。

ここで、$x \to \infty$ のときの極限を調べると、

$$ \lim_{x \to \infty} g(x) = \lim_{x \to \infty} \left( \frac{1}{x} - \log\left(1 + \frac{1}{x}\right) \right) = 0 - \log 1 = 0 $$

関数は単調減少し、かつ極限値が $0$ に収束するため、$x>0$ において常に $g(x) > 0$ が成り立つ。

よって、$\log(1+x) - \log x < \frac{1}{x}$ が示された。

(i) および (ii) より、$\frac{1}{1+x} < \log(1+x) - \log x < \frac{1}{x}$ が示された。

解説

$\log(x+1) - \log x$ のような関数値の差の形を見たときに、「平均値の定理」や「定積分（面積）」を連想できるかが本問の鍵である。

微分して関数の増減を調べる方法（解法3）は汎用性が高く確実な手法であるが、漸近線の評価を含める必要があるためやや手間がかかる。一方、解法1や解法2のような視点を持てると、記述量が大幅に削減され、計算ミスを防ぎやすくなる。特に解法2の面積比較は、視覚的にも納得しやすく応用範囲が広い定石である。

答え

指定された不等式 $\frac{1}{1+x} < \log(1+x) - \log x < \frac{1}{x}$ が成り立つことが証明された。