数学3 接線・不等式 問題 12 解説

方針・初手

不等式の証明であるから、左辺から右辺を引いた関数 $f(x) = ae^{bx} + be^{-ax} - (a+b)$ を定義し、微分を用いて最小値を求めることで $f(x) \geqq 0$ を示す。定数 $a, b$ が「負でない」という条件に注意し、導関数の符号を調べる際に $a=0$ や $b=0$ の場合分けを忘れないようにする。

解法1

$f(x) = ae^{bx} + be^{-ax} - (a+b)$ とおく。

(i) $a = 0$ または $b = 0$ の場合

$a = 0$ のとき、

$$f(x) = 0 \cdot e^{bx} + b e^0 - (0+b) = b - b = 0$$

となり、$f(x) \geqq 0$ が成り立つ。

$b = 0$ のとき、

$$f(x) = a e^0 + 0 \cdot e^{-ax} - (a+0) = a - a = 0$$

となり、$f(x) \geqq 0$ が成り立つ。

(ii) $a > 0$ かつ $b > 0$ の場合

$f(x)$ を $x$ について微分すると、

$$f'(x) = abe^{bx} - abe^{-ax} = ab(e^{bx} - e^{-ax})$$

$a > 0, b > 0$ より $ab > 0$ であるから、$f'(x) = 0$ となる条件は、

$$e^{bx} - e^{-ax} = 0$$

$$e^{bx} = e^{-ax}$$

底が等しいため、指数を比較して、

$$bx = -ax$$

$$(a+b)x = 0$$

$a+b > 0$ であるから、$x = 0$ となる。

$x < 0$ のとき、$bx < 0 < -ax$ より $e^{bx} < e^{-ax}$ であるから、$f'(x) < 0$ となる。

$x > 0$ のとき、$bx > 0 > -ax$ より $e^{bx} > e^{-ax}$ であるから、$f'(x) > 0$ となる。

したがって、関数 $f(x)$ は $x=0$ で極小かつ最小となる。その最小値 $f(0)$ は、

$$f(0) = a e^0 + b e^0 - (a+b) = a + b - (a+b) = 0$$

である。よって、すべての実数 $x$ において $f(x) \geqq f(0) = 0$ が成り立つ。

(i), (ii) より、負でない定数 $a, b$ に対し、全ての実数 $x$ について $f(x) \geqq 0$、すなわち $ae^{bx} + be^{-ax} \geqq a+b$ が成立する。

解説

指数関数を含む不等式の証明における典型問題である。左辺と右辺の差を関数として置き、微分して増減を調べる方針が最も確実である。

導関数 $f'(x) = ab(e^{bx} - e^{-ax})$ の符号を調べる際、$ab$ でくくることになるが、このとき $ab=0$ となる可能性を除外しておかなければならない。問題文の条件が「正の定数」ではなく「負でない定数」すなわち $a \geqq 0, b \geqq 0$ であるため、$a=0$ または $b=0$ の場合を分けて議論することが重要である。この場合分けを怠ると論理的な飛躍となり、減点の対象となる。

答え

負でない定数 $a, b$ について、すべての場合分けにおいて $ae^{bx} + be^{-ax} - (a+b) \geqq 0$ の最小値が $0$ 以上であることが示され、与えられた不等式が成立することが証明された。