数学3 接線・不等式 問題 15 解説

方針・初手

与えられた方程式は $y$ について陽関数（$y = f(x)$ の形）に直すことも可能であるが、陰関数のまま両辺を $x$ で微分して $\frac{dy}{dx}$ を求める方が計算の見通しが良い。求めた導関数に接点の座標を代入して接線の傾きを求め、直線の方程式を立てる。

解法1

曲線の方程式 $x^2+2xy-2x+y-1=0$ の両辺を $x$ で微分する。

$$2x + 2 \left( 1 \cdot y + x \cdot \frac{dy}{dx} \right) - 2 + \frac{dy}{dx} = 0$$

整理すると、

$$(2x + 1) \frac{dy}{dx} = -2x - 2y + 2$$

点 $(0, 1)$ における接線の傾きは、上式に $x=0, y=1$ を代入することで得られる。

$$(2 \cdot 0 + 1) \frac{dy}{dx} = -2 \cdot 0 - 2 \cdot 1 + 2$$

$$1 \cdot \frac{dy}{dx} = 0$$

したがって、点 $(0, 1)$ における接線の傾きは $0$ である。

求める接線は、点 $(0, 1)$ を通り傾きが $0$ の直線であるから、その方程式は、

$$y - 1 = 0 \cdot (x - 0)$$

よって、

$$y = 1$$

解法2

曲線の方程式を $y$ について解いてから微分する。

与式を $y$ について整理すると、

$$(2x + 1) y = -x^2 + 2x + 1$$

接点 $(0, 1)$ の近傍（例えば $x > -\frac{1}{2}$）においては $2x+1 \neq 0$ となるため、両辺を $2x+1$ で割ることができる。

$$y = \frac{-x^2 + 2x + 1}{2x + 1}$$

両辺を $x$ で微分すると、商の微分法より、

$$y' = \frac{(-2x + 2)(2x + 1) - (-x^2 + 2x + 1) \cdot 2}{(2x + 1)^2}$$

分子を展開して整理する。

$$y' = \frac{(-4x^2 + 2x + 2) - (-2x^2 + 4x + 2)}{(2x + 1)^2}$$

$$y' = \frac{-2x^2 - 2x}{(2x + 1)^2}$$

点 $(0, 1)$ における接線の傾きは、$x=0$ を代入して、

$$y' = \frac{0}{(0 + 1)^2} = 0$$

求める接線は、点 $(0, 1)$ を通り傾きが $0$ の直線であるから、その方程式は、

$$y = 1$$

解説

2変数の関係式で表された曲線（陰関数）の接線を求める基本的な問題である。解法1のように陰関数のまま微分する手法は、式が複雑になった場合や陽関数に直せない場合に特に有効である。積の微分法 $\left(xy\right)' = y + xy'$ に注意して計算すれば、容易に傾きを求めることができる。

解法2のように陽関数に直すことも可能であるが、商の微分法が必要となり、計算ミスを誘発しやすい。陰関数の微分に慣れておくことが望ましい。

答え

$$y = 1$$