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数学3 接線・不等式問題 17 解説

方針・初手

(1) は $x, y$ それぞれをパラメータ $t$ で微分し、商 $\frac{dy/dt}{dx/dt}$ を計算して右辺の式と一致することを示す。
(2) は、曲線上の点における接線の方程式を求め、それが点 $\text{P}(u, v)$ を通るという条件を $t$ の方程式に帰着させる。$t > 0$ の範囲で異なる2つの実数解を持つような $(u, v)$ の条件を求める。
(3) は、2つの接線の傾きの積が $-1$ となる条件（直交条件）から軌跡の方程式を導く。それが (2) で求めた領域内に存在するための条件から $a, b$ の関係を決定する。

解法1

(1)

$x = f(t) = \frac{a}{2} (t - t^{-1})$ について、両辺を $t$ で微分すると

$$ \frac{dx}{dt} = \frac{a}{2} (1 + t^{-2}) = \frac{a(t^2 + 1)}{2 t^2} $$

$y = g(t) = \frac{b}{2} (t + t^{-1})$ について、両辺を $t$ で微分すると

$$ \frac{dy}{dt} = \frac{b}{2} (1 - t^{-2}) = \frac{b(t^2 - 1)}{2 t^2} $$

したがって、左辺の商は

$$ \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} = \frac{\frac{b(t^2 - 1)}{2 t^2}}{\frac{a(t^2 + 1)}{2 t^2}} = \frac{b(t^2 - 1)}{a(t^2 + 1)} $$

一方、右辺を計算すると

$$ \frac{b^2}{a^2} \frac{f(t)}{g(t)} = \frac{b^2}{a^2} \frac{\frac{a}{2} (t - t^{-1})}{\frac{b}{2} (t + t^{-1})} = \frac{b^2}{a^2} \frac{a}{b} \frac{t^2 - 1}{t^2 + 1} = \frac{b(t^2 - 1)}{a(t^2 + 1)} $$

よって、

$$ \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} = \frac{b^2}{a^2} \frac{f(t)}{g(t)} $$

が成り立つ。

(2)

曲線 $C$ 上の点 $(f(s), g(s))$（ただし $s > 0$）における接線の方程式を求める。 (1) の結果より、この点における接線の傾きは $\frac{b^2}{a^2} \frac{f(s)}{g(s)}$ であるから、接線の方程式は

$$ y - g(s) = \frac{b^2 f(s)}{a^2 g(s)} (x - f(s)) $$

両辺に $a^2 g(s)$ を掛けて整理する。

$$ a^2 g(s) y - a^2 \{g(s)\}^2 = b^2 f(s) x - b^2 \{f(s)\}^2 $$

$$ b^2 f(s) x - a^2 g(s) y = b^2 \{f(s)\}^2 - a^2 \{g(s)\}^2 $$

ここで、右辺を計算すると

$$ b^2 \cdot \frac{a^2}{4} (s - s^{-1})^2 - a^2 \cdot \frac{b^2}{4} (s + s^{-1})^2 = \frac{a^2 b^2}{4} \{ (s^2 - 2 + s^{-2}) - (s^2 + 2 + s^{-2}) \} = -a^2 b^2 $$

よって、接線の方程式は次のように簡略化できる。

$$ b^2 f(s) x - a^2 g(s) y = -a^2 b^2 $$

この接線が点 $\text{P}(u, v)$ を通るから、

$$ b^2 f(s) u - a^2 g(s) v = -a^2 b^2 $$

$f(s), g(s)$ を代入する。

$$ b^2 \cdot \frac{a}{2} (s - s^{-1}) u - a^2 \cdot \frac{b}{2} (s + s^{-1}) v = -a^2 b^2 $$

両辺を $\frac{ab}{2}$ で割る（$a>0, b>0$ より可能）。

$$ b u (s - s^{-1}) - a v (s + s^{-1}) = -2 a b $$

$$ (b u - a v) s - (b u + a v) s^{-1} + 2 a b = 0 $$

両辺に $s$（$s > 0$）を掛けて整理すると、$s$ についての方程式が得られる。

$$ (b u - a v) s^2 + 2 a b s - (b u + a v) = 0 \quad \cdots (*) $$

点 $\text{P}(u, v)$ を通る接線が2本引ける条件は、方程式 $(*)$ が $s > 0$ において異なる2つの実数解をもつことである。方程式が2次方程式となるために $b u - a v \neq 0$ が必要である。このとき、2つの解を $\alpha, \beta$ とし、判別式を $D$ とすると、満たすべき条件は以下の3つである。

(i) 判別式 $D/4 = (a b)^2 - (b u - a v)\{-(b u + a v)\} > 0$ (ii) 解の和 $\alpha + \beta = -\frac{2 a b}{b u - a v} > 0$ (iii) 解の積 $\alpha \beta = -\frac{b u + a v}{b u - a v} > 0$

(ii) より、分母が負でなければならないので $b u - a v < 0$ すなわち $v > \frac{b}{a} u$ が成り立つ。 (iii) と (ii) の結果から、分子も負でなければならないので $-(b u + a v) < 0$ より $b u + a v > 0$ すなわち $v > -\frac{b}{a} u$ が成り立つ。これら2つの条件を合わせると、$v > \frac{b}{a} |u|$ となる。（この条件の下で $b u - a v \neq 0$ も満たされる）

(i) より

$$ a^2 b^2 + (b^2 u^2 - a^2 v^2) > 0 $$

$$ a^2 v^2 - b^2 u^2 < a^2 b^2 $$

$$ \frac{v^2}{b^2} - \frac{u^2}{a^2} < 1 $$

したがって、点 $\text{P}(u, v)$ の存在領域は

$$ \begin{cases} v > \frac{b}{a} |u| \\ \frac{v^2}{b^2} - \frac{u^2}{a^2} < 1 \end{cases} $$

の連立不等式が表す領域である。これは $uv$ 平面上で、双曲線 $\frac{v^2}{b^2} - \frac{u^2}{a^2} = 1$ の下側かつ、その漸近線 $v = \pm \frac{b}{a} u$ の上側で囲まれた部分（境界線を含まない）となる。

(3)

2本の接線が直交するとき、それらの接点に対応するパラメータ $s_1, s_2$ は $(*)$ の異なる2つの正の解であり、接線の傾きの積は $-1$ である。各接線の傾きは $\frac{b^2}{a^2} \frac{f(s_i)}{g(s_i)} = \frac{b}{a} \frac{s_i - s_i^{-1}}{s_i + s_i^{-1}} = \frac{b}{a} \frac{s_i^2 - 1}{s_i^2 + 1}$ ($i=1, 2$) と表せるから、

$$ \frac{b}{a} \frac{s_1^2 - 1}{s_1^2 + 1} \cdot \frac{b}{a} \frac{s_2^2 - 1}{s_2^2 + 1} = -1 $$

分母を払って整理する。

$$ b^2 (s_1^2 - 1)(s_2^2 - 1) = -a^2 (s_1^2 + 1)(s_2^2 + 1) $$

$$ b^2 \{ s_1^2 s_2^2 - (s_1^2 + s_2^2) + 1 \} = -a^2 \{ s_1^2 s_2^2 + (s_1^2 + s_2^2) + 1 \} $$

$$ (a^2 + b^2) s_1^2 s_2^2 + (a^2 - b^2) (s_1^2 + s_2^2) + a^2 + b^2 = 0 \quad \cdots (**) $$

一方、$(*)$ における解と係数の関係より

$$ s_1 + s_2 = \frac{-2 a b}{b u - a v}, \quad s_1 s_2 = \frac{- (b u + a v)}{b u - a v} $$

これらを用いて $s_1^2 s_2^2$ と $s_1^2 + s_2^2$ を $(u, v)$ の式で表す。

$$ s_1^2 s_2^2 = \frac{(b u + a v)^2}{(b u - a v)^2} $$

$$ s_1^2 + s_2^2 = (s_1 + s_2)^2 - 2 s_1 s_2 = \frac{4 a^2 b^2}{(b u - a v)^2} - \frac{-2 (b u + a v)(b u - a v)}{(b u - a v)^2} = \frac{4 a^2 b^2 + 2 (b^2 u^2 - a^2 v^2)}{(b u - a v)^2} $$

これらを $()$ に代入し、両辺に $(b u - a v)^2$ を掛ける。

$$ (a^2 + b^2) (b u + a v)^2 + (a^2 - b^2) \{ 4 a^2 b^2 + 2(b^2 u^2 - a^2 v^2) \} + (a^2 + b^2) (b u - a v)^2 = 0 $$

ここで $(b u + a v)^2 + (b u - a v)^2 = 2(b^2 u^2 + a^2 v^2)$ を用いて整理する。

$$ 2 (a^2 + b^2) (b^2 u^2 + a^2 v^2) + 4 a^2 b^2 (a^2 - b^2) + 2(a^2 - b^2)(b^2 u^2 - a^2 v^2) = 0 $$

両辺を 2 で割って展開し、$u^2, v^2$ についてまとめる。

$$ \{ b^2 (a^2 + b^2) + b^2 (a^2 - b^2) \} u^2 + \{ a^2 (a^2 + b^2) - a^2 (a^2 - b^2) \} v^2 + 2 a^2 b^2 (a^2 - b^2) = 0 $$

$$ 2 a^2 b^2 u^2 + 2 a^2 b^2 v^2 + 2 a^2 b^2 (a^2 - b^2) = 0 $$

$a > 0, b > 0$ より $2 a^2 b^2 \neq 0$ であるから、これで割る。

$$ u^2 + v^2 = b^2 - a^2 $$

直交する接線が引ける点 $\text{P}(u, v)$ が存在するためには、この円の半径の2乗が正であり、かつ (2) で求めた領域と共有点をもつ必要がある。円が存在する条件より $b^2 - a^2 > 0$、すなわち $b > a$ が必要である。このとき、円上の点 $(u, v)$ は常に $\frac{v^2}{b^2} - \frac{u^2}{a^2} < 1$ を満たす。したがって、点 $\text{P}(u, v)$ の軌跡は、円 $u^2 + v^2 = b^2 - a^2$ のうち $v > \frac{b}{a} |u|$ を満たす部分となる。 $b > a$ のとき、この条件を満たす $u$ は実数として存在するため、軌跡は空ではない。以上より、存在するための条件は $b > a$ であり、軌跡は当該の円弧である。

解説

双曲線を媒介変数表示した曲線に引ける接線の本数と、直交する接線の交点の軌跡（いわゆる準円）に関する典型問題である。 (1) の微分計算は媒介変数表示の微分の基本であり、結果がのちの接線の傾きとして利用される。 (2) は「接線が通る点」から「接点のパラメータに関する方程式の実数解の個数」へ帰着させる定石である。2次方程式が「正の」実数解をもつ条件に翻訳することを見落とさないようにしたい。 (3) は直交条件 $m_1 m_2 = -1$ を、解と係数の関係を用いて立式する。計算量はやや多いが、対称式を丁寧に処理すればきれいな円の方程式が導出される。また、(2) で求めた領域との共通部分をとることで、軌跡が存在する条件 $b > a$ も自然に得られる。