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数学3 接線・不等式問題 18 解説

方針・初手

与えられた関数の導関数を求め、指定された $x$ 座標における微分係数を計算することで接線の傾きを得る。接点の座標と接線の傾きから接線の方程式を求め、さらに接線の傾きに垂直な傾きを用いて法線の方程式を導出する。

解法1

与えられた曲線を $y = f(x)$ とし、$f(x) = e^{-x} - 1$ とおく。

$x = -1$ のとき、

$$f(-1) = e^{-(-1)} - 1 = e - 1$$

であるから、接点の座標は $(-1, e - 1)$ である。

次に、関数 $f(x)$ を微分すると、

$$f'(x) = -e^{-x}$$

となる。したがって、$x = -1$ における接線の傾きは、

$$f'(-1) = -e^{-(-1)} = -e$$

である。

よって、求める接線の方程式は、点 $(-1, e - 1)$ を通り、傾きが $-e$ の直線であるから、

$$y - (e - 1) = -e(x - (-1))$$

$$y - e + 1 = -ex - e$$

これを整理して、

$$y = -ex - 1$$

となる。

次に、法線について考える。法線は接点 $(-1, e - 1)$ を通り、接線に垂直な直線である。接線の傾きが $-e$ であるから、法線の傾きを $m$ とすると、直交条件から $-e \cdot m = -1$ となり、

$$m = \frac{1}{e}$$

である。

よって、求める法線の方程式は、点 $(-1, e - 1)$ を通り、傾きが $\frac{1}{e}$ の直線であるから、

$$y - (e - 1) = \frac{1}{e}(x - (-1))$$

$$y = \frac{1}{e}(x + 1) + e - 1$$

これを整理して、

$$y = \frac{1}{e}x + \frac{1}{e} + e - 1$$

となる。

解説

微分係数の幾何学的意味（接線の傾き）と、直線の方程式の基本公式を用いる典型的な問題である。

関数 $y = f(x)$ 上の点 $(a, f(a))$ における接線の方程式は、公式通り $y - f(a) = f'(a)(x - a)$ を用いて計算できる。また、法線は接線と接点において垂直に交わる直線であるため、その傾きは接線の傾き $f'(a)$ に対して直交条件を利用し $-\frac{1}{f'(a)}$ （ただし $f'(a) \neq 0$）と求められる。

最初の微分において、合成関数の微分公式を用いて $(e^{-x})' = -e^{-x}$ と正しく計算できるかがポイントとなる。