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数学3 接線・不等式問題 19 解説

方針・初手

(1) は、平均値の定理の等式 $f(a+h) = f(a) + hf'(a+\theta h)$ に $f(x) = x^3$ とその導関数 $f'(x) = 3x^2$ を代入し、$\theta$ についての方程式を立てる。得られた方程式を $\theta$ についての2次方程式とみなし、解の公式を用いて $\theta$ を求める。その際、$0 < \theta < 1$ という条件を用いて適切な解を選択する。

(2) は、(1) で得られた $\theta$ の式において $h \to 0$ の極限をとる。極限計算において $\frac{0}{0}$ の不定形となるため、分子の有理化を行うが、$a=0$ の場合は分母が $0$ になるため、あらかじめ $a=0$ と $a > 0$ の場合分けをして極限を計算する。

解法1

(1)

$f(x) = x^3$ より、$f'(x) = 3x^2$ である。これらを条件の等式 $f(a+h) = f(a) + hf'(a+\theta h)$ に代入する。

$$(a+h)^3 = a^3 + h \cdot 3(a+\theta h)^2$$

両辺を展開して整理する。

$$a^3 + 3a^2 h + 3ah^2 + h^3 = a^3 + 3h(a^2 + 2a\theta h + \theta^2 h^2)$$

$$3a^2 h + 3ah^2 + h^3 = 3a^2 h + 6a\theta h^2 + 3\theta^2 h^3$$

両辺から $3a^2 h$ を引き、$h > 0$ であるから両辺を $h^2$ で割る。

$$3a + h = 6a\theta + 3\theta^2 h$$

$\theta$ についての2次方程式として整理する。

$$3h\theta^2 + 6a\theta - (3a+h) = 0$$

解の公式を用いると、以下のようになる。

$$\theta = \frac{-3a \pm \sqrt{(3a)^2 - 3h \cdot \{-(3a+h)\}}}{3h}$$

$$\theta = \frac{-3a \pm \sqrt{9a^2 + 9ah + 3h^2}}{3h}$$

$$\theta = \frac{-a \pm \sqrt{a^2 + ah + \frac{h^2}{3}}}{h}$$

ここで、$a \geqq 0, h > 0$ であるから、平方根の中身について次が成り立つ。

$$\sqrt{a^2 + ah + \frac{h^2}{3}} > \sqrt{a^2} = a$$

したがって、複号がマイナスの場合は分子が負となり $\theta < 0$ となるため、$0 < \theta < 1$ という条件を満たさない。ゆえに、複号はプラスのみが適する。

$$\theta = \frac{-a + \sqrt{a^2 + ah + \frac{h^2}{3}}}{h}$$

なお、このとき $\sqrt{a^2 + ah + \frac{h^2}{3}} < \sqrt{a^2 + 2ah + h^2} = a+h$ となるから、$\theta < \frac{-a+(a+h)}{h} = 1$ となり、$0 < \theta < 1$ を満たしている。

(2)

(1)で求めた $\theta$ の極限を考える。$a$ の値によって場合分けを行う。

(i) $a > 0$ のとき

$\frac{0}{0}$ の不定形を解消するため、分子の有理化を行う。

$$\begin{aligned} \lim_{h \to 0} \theta &= \lim_{h \to 0} \frac{-a + \sqrt{a^2 + ah + \frac{h^2}{3}}}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} \frac{\left(-a + \sqrt{a^2 + ah + \frac{h^2}{3}}\right)\left(a + \sqrt{a^2 + ah + \frac{h^2}{3}}\right)}{h\left(a + \sqrt{a^2 + ah + \frac{h^2}{3}}\right)} \\ &= \lim_{h \to 0} \frac{-a^2 + \left(a^2 + ah + \frac{h^2}{3}\right)}{h\left(a + \sqrt{a^2 + ah + \frac{h^2}{3}}\right)} \\ &= \lim_{h \to 0} \frac{ah + \frac{h^2}{3}}{h\left(a + \sqrt{a^2 + ah + \frac{h^2}{3}}\right)} \\ &= \lim_{h \to 0} \frac{a + \frac{h}{3}}{a + \sqrt{a^2 + ah + \frac{h^2}{3}}} \end{aligned}$$

$h \to 0$ とすると、

$$\lim_{h \to 0} \theta = \frac{a}{a + \sqrt{a^2}} = \frac{a}{a + a} = \frac{1}{2}$$

(ii) $a = 0$ のとき

(1)で求めた $\theta$ の式に $a = 0$ を代入する。

$$\theta = \frac{0 + \sqrt{0 + 0 + \frac{h^2}{3}}}{h} = \frac{\frac{h}{\sqrt{3}}}{h} = \frac{1}{\sqrt{3}}$$

このとき、$\theta$ は $h$ に依存しない定数となるため、極限はそのまま定数値となる。

$$\lim_{h \to 0} \theta = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$$

解説

平均値の定理における $\theta$ の極限値に関する典型問題である。

(1)では、与えられた関数と導関数を等式に素直に代入し、$\theta$ の2次方程式として解を導出する。その際、$0 < \theta < 1$ の条件から正の解のみが適することを丁寧に記述する必要がある。

(2)では、分子の有理化を利用して極限を計算する。このとき、有理化後の分母に $a$ が残るため、$a=0$ の場合を別個に扱う必要がある点に気づけるかが鍵となる。一般に、関数 $f(x)$ が $x=a$ において $f''(a) \neq 0$ であるとき、$\lim_{h \to 0} \theta = \frac{1}{2}$ となることが知られているが、本問における $a=0$ の場合は $f''(0) = 0$ となるため、極限値が例外的に $\frac{1}{\sqrt{3}}$ となる。