数学3 接線・不等式 問題 20 解説

方針・初手

証明すべき不等式の右辺から左辺を引いた関数を $f(x)$ とおき、$0 < x < 1$ において $f(x) > 0$ であることを微分を用いて示す。 1回の微分では導関数の符号が直ちには確定しないため、通分して分母が正であることを確認したうえで、分子のみを取り出してさらに微分する（第2次導関数を調べるのと同等の操作を行う）。

解法1

$$f(x) = \left( \log \frac{1}{1-x} \right)^2 - \log \frac{1}{1-x^2}$$

とおく。対数の性質より、

$$\log \frac{1}{1-x} = -\log (1-x)$$

$$\log \frac{1}{1-x^2} = -\log (1-x^2)$$

であるから、$f(x)$ は次のように変形できる。

$$f(x) = \{ -\log(1-x) \}^2 - \{ -\log(1-x^2) \}$$

$$= \{ \log(1-x) \}^2 + \log(1-x^2)$$

$f(x)$ を $x$ について微分すると、

$$f'(x) = 2\log(1-x) \cdot \left( \frac{-1}{1-x} \right) + \frac{-2x}{1-x^2}$$

$$= \frac{-2\log(1-x)}{1-x} - \frac{2x}{(1-x)(1+x)}$$

$$= \frac{-2(1+x)\log(1-x) - 2x}{1-x^2}$$

$0 < x < 1$ において分母 $1-x^2 > 0$ であるから、$f'(x)$ の符号は分子の符号と一致する。 そこで、分子を $g(x)$ とおく。

$$g(x) = -2(1+x)\log(1-x) - 2x$$

$g(x)$ を $x$ について微分すると、

$$g'(x) = -2\log(1-x) - 2(1+x) \cdot \left( \frac{-1}{1-x} \right) - 2$$

$$= -2\log(1-x) + \frac{2(1+x)}{1-x} - \frac{2(1-x)}{1-x}$$

$$= -2\log(1-x) + \frac{4x}{1-x}$$

$0 < x < 1$ において、$1-x < 1$ より $\log(1-x) < 0$ であるから、$-2\log(1-x) > 0$ である。 また、$x > 0$ かつ $1-x > 0$ より $\frac{4x}{1-x} > 0$ である。 したがって、$0 < x < 1$ において $g'(x) > 0$ となり、$g(x)$ は単調に増加する。

ここで、$x=0$ を代入すると、

$$g(0) = -2(1+0)\log 1 - 0 = 0$$

であるから、$0 < x < 1$ において $g(x) > 0$ である。

$g(x) > 0$ より、$0 < x < 1$ において $f'(x) > 0$ となり、$f(x)$ も単調に増加する。 さらに、$x=0$ を代入すると、

$$f(0) = (\log 1)^2 + \log 1 = 0$$

であるから、$0 < x < 1$ において $f(x) > 0$ が成り立つ。

すなわち、

$$\left( \log \frac{1}{1-x} \right)^2 - \log \frac{1}{1-x^2} > 0$$

$$\log \frac{1}{1-x^2} < \left( \log \frac{1}{1-x} \right)^2$$

となり、題意の不等式は示された。

解説

不等式の証明における標準的な手法である「差をとって微分し、増減を調べる」方針で解決できる。 $f'(x)$ を計算した時点で符号がすぐには判定できないが、分母が正であることに着目し、分子の符号のみを別の関数 $g(x)$ として取り出して再度微分するのがポイントである。 対数の真数部分が分数になっているため、そのまま微分すると合成関数の計算が煩雑になりやすい。$\log \frac{1}{A} = -\log A$ の変形をあらかじめ行っておくことで、微分の計算ミスを減らし、見通しを良くすることができる。

答え

$0 < x < 1$ において $\log \frac{1}{1-x^2} < \left( \log \frac{1}{1-x} \right)^2$ が成り立つ。（証明は解法1の通り）