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数学3 接線・不等式問題 21 解説

方針・初手

与えられた曲線の方程式を微分して導関数を求め、接線の傾きが直線 $3x + y = 0$ の傾きと等しくなるような接点の $x$ 座標を求める。直線 $3x + y = 0$ は $y = -3x$ と変形できるため、求める接線の傾きは $-3$ である。導関数を $-3$ と置いた方程式を、三角関数の加法定理や2倍角・3倍角の公式を用いて解き、接点の座標を特定してから接線の方程式を記述する。

解法1

$f(x) = 3\sin 2x + \cos 3x$ とおく。これを $x$ について微分すると、以下のようになる。

$$f'(x) = 6\cos 2x - 3\sin 3x$$

直線 $3x + y = 0$ の傾きは $-3$ であるから、この直線に平行な接線の接点における微分係数は $-3$ となる。すなわち、次の方程式が成り立つ。

$$6\cos 2x - 3\sin 3x = -3$$

両辺を $3$ で割り、整理する。

$$2\cos 2x - \sin 3x = -1$$

2倍角の公式 $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$ および、3倍角の公式 $\sin 3x = 3\sin x - 4\sin^3 x$ を代入して、$\sin x$ についての方程式にする。

$$2(1 - 2\sin^2 x) - (3\sin x - 4\sin^3 x) = -1$$

展開して整理する。

$$2 - 4\sin^2 x - 3\sin x + 4\sin^3 x = -1$$

$$4\sin^3 x - 4\sin^2 x - 3\sin x + 3 = 0$$

左辺を因数分解する。

$$4\sin^2 x (\sin x - 1) - 3(\sin x - 1) = 0$$

$$(\sin x - 1)(4\sin^2 x - 3) = 0$$

したがって、$\sin x = 1$ または $\sin^2 x = \frac{3}{4}$ である。 $0 < x < \pi$ の範囲において $\sin x > 0$ であるから、$\sin x$ の値は以下のようになる。

$$\sin x = 1, \frac{\sqrt{3}}{2}$$

これらをみたす $0 < x < \pi$ の範囲の $x$ の値は次の通りである。

$$x = \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}$$

それぞれの $x$ に対する接点の座標と接線の方程式を求める。接線の方程式は、傾きが $-3$ で接点 $(x_0, f(x_0))$ を通るため $y - f(x_0) = -3(x - x_0)$ と表せる。

(i) $x = \frac{\pi}{2}$ のとき

$y$ 座標は以下のようになる。

$$f\left(\frac{\pi}{2}\right) = 3\sin \pi + \cos \frac{3\pi}{2} = 0 + 0 = 0$$

接線の方程式は次のようになる。

$$y - 0 = -3\left(x - \frac{\pi}{2}\right)$$

$$y = -3x + \frac{3\pi}{2}$$

(ii) $x = \frac{\pi}{3}$ のとき

$y$ 座標は以下のようになる。

$$f\left(\frac{\pi}{3}\right) = 3\sin \frac{2\pi}{3} + \cos \pi = 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - 1 = \frac{3\sqrt{3}}{2} - 1$$

接線の方程式は次のようになる。

$$y - \left(\frac{3\sqrt{3}}{2} - 1\right) = -3\left(x - \frac{\pi}{3}\right)$$

$$y = -3x + \pi - 1 + \frac{3\sqrt{3}}{2}$$

(iii) $x = \frac{2\pi}{3}$ のとき

$y$ 座標は以下のようになる。

$$f\left(\frac{2\pi}{3}\right) = 3\sin \frac{4\pi}{3} + \cos 2\pi = 3 \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + 1 = 1 - \frac{3\sqrt{3}}{2}$$

接線の方程式は次のようになる。

$$y - \left(1 - \frac{3\sqrt{3}}{2}\right) = -3\left(x - \frac{2\pi}{3}\right)$$

$$y = -3x + 2\pi + 1 - \frac{3\sqrt{3}}{2}$$

解説

三角関数の微分法と接線の方程式に関する標準的な問題である。導関数を求めた後に現れる三角方程式 $2\cos 2x - \sin 3x = -1$ を解く際、角を $x$ に統一するために2倍角の公式と3倍角の公式を正確に適用できるかが問われている。高次方程式が現れるが、部分的に共通因数でくくることで容易に因数分解できる。接点が3つ存在するため、それぞれにおいて計算ミスなく接線の方程式を導出することが重要である。