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数学3 接線・不等式問題 26 解説

方針・初手

(1) は関数を2回微分して増減と凹凸を調べ、極限を考慮してグラフの概形を捉えます。 (2) は微分を用いて接線の方程式を立て、それが指定された点を通るという条件を立式します。 (3) は接線の本数を接点の個数に帰着させます。(2) で得られた関係式の実数解の個数を調べるために、(1) の関数のグラフを利用します。

解法1

(1)

$y = (x-1)e^x$ を $x$ について微分すると

$$y' = 1 \cdot e^x + (x-1) \cdot e^x = x e^x$$

さらに微分すると

$$y'' = 1 \cdot e^x + x \cdot e^x = (x+1)e^x$$

$y' = 0$ となるのは $x = 0$ のときであり、$y'' = 0$ となるのは $x = -1$ のときである。 $e^x > 0$ であることに注意して $y$ の増減と凹凸を調べると、次の表のようになる。

$x$	$\cdots$	$-1$	$\cdots$	$0$	$\cdots$
$y'$	$-$	$-$	$-$	$0$	$+$
$y''$	$-$	$0$	$+$	$+$	$+$
$y$	$\searrow$	$-\frac{2}{e}$	$\searrow$	$-1$	$\nearrow$

ここで、区間 $x < -1$ では $y'' < 0$ より上に凸、区間 $x > -1$ では $y'' > 0$ より下に凸である。極値と変曲点は以下の通りである。

極小値: $x = 0$ のとき $-1$ （極大値はない）変曲点: $\left(-1, -\frac{2}{e}\right)$

また、極限について、与えられた条件 $\lim_{x \to -\infty} (x-1)e^x = 0$ より、直線 $y = 0$ （$x$ 軸）が $x \to -\infty$ のときの漸近線となる。 $x \to \infty$ のときは $\lim_{x \to \infty} (x-1)e^x = \infty$ である。さらに、$y=0$ となるのは $x=1$ のときである。

以上より、グラフの概形は次の特徴を持つ曲線となる。・$x$ 軸の負の方向で $x$ 軸に漸近する。・$(-1, -2/e)$ で変曲点を持ち、ここを境に上に凸から下に凸へ変わる。・$(0, -1)$ で極小かつ最小となる。・$(1, 0)$ で $x$ 軸と交わり、その後は単調に増加する。

(2)

関数を $f(x) = -e^x$ とおくと、導関数は $f'(x) = -e^x$ である。曲線 $y = f(x)$ 上の点 $(a, -e^a)$ における接線の方程式は

$$y - (-e^a) = -e^a (x - a)$$

整理すると

$$y = -e^a x + (a-1)e^a$$

この接線が点 $(0, b)$ を通るので、$x = 0, y = b$ を代入して

$$b = (a-1)e^a$$

(3)

曲線 $y = -e^x$ 上の点 $(a, -e^a)$ を接点とする接線は、(2) より $y = -e^a x + (a-1)e^a$ と表される。ここで、接点の $x$ 座標 $a$ が異なれば、接線の傾き $-e^a$ が異なるため、異なる接線となる。したがって、点 $(0, b)$ を通る接線の本数は、 $a$ についての方程式 $b = (a-1)e^a$ の異なる実数解の個数に等しい。

この実数解の個数は、曲線 $y = (a-1)e^a$ と直線 $y = b$ の共有点の個数に一致する。曲線 $y = (a-1)e^a$ のグラフは、(1) で調べた曲線 $y = (x-1)e^x$ のグラフの $x$ を $a$ に置き換えたものと同じである。

(1) の結果から、曲線 $y = (x-1)e^x$ と直線 $y = b$ の共有点の個数を調べると、以下のようになる。

(i) $b < -1$ のとき共有点はないので、接線は $0$ 本。

(ii) $b = -1$ のとき極小点 $(0, -1)$ で接するので、共有点は1個。接線は $1$ 本。

(iii) $-1 < b < 0$ のとき極小値 $-1$ より大きく漸近線 $y=0$ より小さい範囲では、共有点は2個。接線は $2$ 本。

(iv) $b \geqq 0$ のとき漸近線以上の範囲では、単調増加する部分と1点で交わるため、共有点は1個。接線は $1$ 本。

解説

微分法を用いたグラフの描画と、方程式の実数解の個数への応用を問う標準的な問題です。 (3) で接線の本数を調べる際、「接点が異なれば接線も異なる」ことを一言断っておくことで、論理の飛躍を防ぐことができます。これは、関数 $y = -e^x$ が常に上に凸（または常に単調減少な導関数を持つ）であることから自明に成り立ちます。全体を通して、前の小問の誘導を次の小問でどのように活かすかが明確な構成となっています。