数学3 接線・不等式 問題 27 解説

方針・初手

「すべての正の数 $x$ に対して不等式が成り立つ」という絶対不等式の問題である。 定数 $a$ を分離し、関数の最大値・最小値の問題に帰着させるのが定石である。不等式を変形して $a > f(x)$ の形を作り、$x > 0$ における $f(x)$ の最大値を求める方針（定数分離）をとるのが最も見通しが良い。

解法1

与えられた不等式 $\log x + \frac{a}{x^n} > 0$ は、すべての $x > 0$ において

$$a > -x^n \log x$$

と同値である。 したがって、関数 $f(x) = -x^n \log x \ (x > 0)$ の最大値を求め、その最大値よりも $a$ が大きければよい。

$f(x)$ を $x$ について微分すると、積の微分法より

$$f'(x) = -nx^{n-1} \log x - x^n \cdot \frac{1}{x} = -x^{n-1}(n \log x + 1)$$

となる。 $f'(x) = 0$ となる $x$ の値を求めると、$x^{n-1} \neq 0$ より

$$n \log x + 1 = 0$$

$$\log x = -\frac{1}{n}$$

$$x = e^{-\frac{1}{n}}$$

である。

$x > 0$ における $f(x)$ の増減表は次のようになる。

増減表より、$f(x)$ は $x = e^{-\frac{1}{n}}$ で極大かつ最大となる。 その最大値は、

$$f\left(e^{-\frac{1}{n}}\right) = -\left(e^{-\frac{1}{n}}\right)^n \log\left(e^{-\frac{1}{n}}\right) = -e^{-1} \cdot \left(-\frac{1}{n}\right) = \frac{1}{ne}$$

である。

求める $a$ の条件は、すべての $x > 0$ に対して $a > f(x)$ が成り立つこと、すなわち $a$ が $f(x)$ の最大値より大きいことであるから、

$$a > \frac{1}{ne}$$

となる。

解法2

関数 $g(x) = \log x + \frac{a}{x^n} \ (x > 0)$ とおき、すべての $x > 0$ において $g(x) > 0$ となる条件、すなわち「$g(x)$ の最小値が正」となる条件を求める。

$g(x)$ を $x$ について微分すると、

$$g'(x) = \frac{1}{x} - anx^{-n-1} = \frac{x^n - an}{x^{n+1}}$$

となる。定数 $a$ の符号によって極値の有無が変わるため、場合分けを行う。

(i) $a \leqq 0$ のとき

$x > 0$ かつ $n$ は自然数であるから、$x^n - an > 0$ となり、$g'(x) > 0$ である。 よって $g(x)$ は単調増加関数である。 ここで、$\lim_{x \to +0} \log x = -\infty$ であり、$\lim_{x \to +0} \frac{a}{x^n} \leqq 0$ であるから、

$$\lim_{x \to +0} g(x) = -\infty$$

となる。したがって、ある正の実数 $x$ において $g(x) < 0$ となるため、すべての $x > 0$ に対して $g(x) > 0$ が成り立つことはなく不適である。

(ii) $a > 0$ のとき

$g'(x) = 0$ となるのは、$x^n - an = 0$ より $x = (an)^{\frac{1}{n}}$ のときである。 増減表は以下のようになる。

増減表より、$g(x)$ は $x = (an)^{\frac{1}{n}}$ で極小かつ最小となる。 最小値が正であれば、すべての $x > 0$ に対して $g(x) > 0$ が成り立つので、

$$g\left((an)^{\frac{1}{n}}\right) > 0$$

$$\log \left((an)^{\frac{1}{n}}\right) + a \left((an)^{\frac{1}{n}}\right)^{-n} > 0$$

$$\frac{1}{n} \log(an) + \frac{a}{an} > 0$$

$$\frac{1}{n} \log(an) + \frac{1}{n} > 0$$

$n$ は自然数であるから、両辺に $n$ を掛けて、

$$\log(an) + 1 > 0$$

$$\log(an) > -1$$

$$an > e^{-1}$$

$$a > \frac{1}{ne}$$

これは前提である $a > 0$ を満たしている。

(i), (ii) より、求める $a$ の範囲は

$$a > \frac{1}{ne}$$

である。

解説

不等式が「すべての $x$ で成り立つ」条件を考える場合、関数を設定してその最小値を求めるか、定数を分離して最大値・最小値の問題に帰着させるのが定石である。

解法1のように定数 $a$ を一方の辺に分離すると、文字定数を含む場合分けを避けることができ、微分して増減を調べる関数も1つで済むため、計算ミスを減らし見通し良く解くことができる。

解法2のように直接関数を微分する場合は、導関数 $g'(x)$ の分子に文字 $a$ が残るため、$a$ の符号によって方程式 $g'(x)=0$ が正の実数解を持つかどうかが変わる。そのため、確実に場合分けを行う必要がある点に注意したい。

答え

$$a > \frac{1}{ne}$$