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数学3 接線・不等式問題 29 解説

方針・初手

点 $\text{Q}$ における曲線 $C$ の接線が直線 $\text{PQ}$ と直交するという条件は、点 $\text{P}$ が点 $\text{Q}$ における曲線 $C$ の法線上にあることと同値である。

したがって、まずは曲線 $C$ 上の点 $\text{Q}$ における法線の方程式を求め、それが点 $\text{P}(0, a)$ を通るという条件から $a$ の満たすべき方程式を導く。そして、その方程式が条件（原点以外の点であること）を満たす実数解をもつような $a$ の範囲を定数分離などの手法を用いて調べる。

解法1

関数 $y = \frac{x^2}{x^2+1}$ について、$x$ で微分すると

$$ y' = \frac{2x(x^2+1) - x^2 \cdot 2x}{(x^2+1)^2} = \frac{2x}{(x^2+1)^2} $$

となる。

点 $\text{Q}$ の $x$ 座標を $t$ とおく。点 $\text{Q}$ は原点 $\text{O}(0, 0)$ ではないため、$t \neq 0$ である。点 $\text{Q} \left( t, \frac{t^2}{t^2+1} \right)$ における接線の傾きは $\frac{2t}{(t^2+1)^2}$ であり、$t \neq 0$ よりこれは $0$ ではない。

したがって、点 $\text{Q}$ における接線に直交する直線（法線）の傾きは $-\frac{(t^2+1)^2}{2t}$ となる。ゆえに、点 $\text{Q}$ における法線の方程式は

$$ y - \frac{t^2}{t^2+1} = -\frac{(t^2+1)^2}{2t} (x - t) $$

と表される。この法線上に点 $\text{P}(0, a)$ が存在するので、$x = 0$、$y = a$ を代入して

$$ a - \frac{t^2}{t^2+1} = -\frac{(t^2+1)^2}{2t} (0 - t) $$

$$ a = \frac{t^2}{t^2+1} + \frac{(t^2+1)^2}{2} $$

を得る。この方程式を満たす $0$ でない実数 $t$ が存在するような $a$ の範囲を求めればよい。

ここで、$t^2+1 = u$ とおく。 $t$ は $0$ でない実数であるから $t^2 > 0$ であり、$u > 1$ である。方程式を $u$ で表し、右辺を $g(u)$ とおくと

$$ g(u) = \frac{u-1}{u} + \frac{u^2}{2} = 1 - \frac{1}{u} + \frac{1}{2}u^2 $$

となる。関数 $g(u)$ を $u$ について微分すると

$$ g'(u) = \frac{1}{u^2} + u $$

$u > 1$ において $g'(u) > 0$ であるから、関数 $g(u)$ は $u > 1$ の範囲で単調に増加する。また、

$$ \lim_{u \to 1+0} g(u) = 1 - 1 + \frac{1}{2} = \frac{1}{2} $$

であり、$\lim_{u \to \infty} g(u) = \infty$ であるから、$u > 1$ における $g(u)$ のとりうる値の範囲は $\frac{1}{2} < g(u)$ となる。

したがって、求める $a$ の範囲は $a > \frac{1}{2}$ である。

解説

「接線とある直線が直交する」という条件を、「ある点が法線上にある」と言い換えることで、処理が非常にスムーズになる典型的な問題である。

方程式を導いた後は、定数 $a$ が孤立した形（定数分離）になっているため、右辺の関数の値域を求めることに帰着できる。このとき、$t$ のままで微分して増減を調べることも可能だが、$t^2+1 = u$ のように置き換える（変数変換する）ことで、計算の見通しが格段に良くなる。置換した際は、新しい変数の定義域（今回であれば $u > 1$）を正しく求めることが重要である。