数学3 接線・不等式 問題 30 解説

方針・初手

与えられた曲線はサイクロイドの媒介変数表示である。 (1)では、媒介変数で表された関数の導関数 $\frac{dy}{dx}$ を $\frac{dy}{d\theta}$ と $\frac{dx}{d\theta}$ の比から求め、接線の方程式を立てる。 (2)では、(1)で得られた接線の方程式のパラメータ $t$ を $t+\pi$ に置き換えてもう一つの接線の方程式を求め、それらを連立して交点の座標を計算する。この際、媒介変数の値によっては接線の傾きが定義できない（分母が $0$ になる）特異点が生じるため、定義域 $0 < t < 2\pi$ に応じて適切な場合分けを行う必要がある。

解法1

(1)

与えられた曲線の式は以下の通りである。

$$x = a(\theta - \sin\theta)$$

$$y = a(1 - \cos\theta)$$

これらを $\theta$ について微分する。

$$\frac{dx}{d\theta} = a(1 - \cos\theta)$$

$$\frac{dy}{d\theta} = a\sin\theta$$

$0 < t < 2\pi$ の範囲において、$\cos t \neq 1$ であるから、$\theta = t$ のとき $\frac{dx}{d\theta} = a(1 - \cos t) \neq 0$ となる。 したがって、点 $\text{P}(at - a\sin t, a - a\cos t)$ における接線の傾きは次のように求まる。

$$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{d\theta}}{\frac{dx}{d\theta}} = \frac{a\sin t}{a(1 - \cos t)} = \frac{\sin t}{1 - \cos t}$$

よって、求める接線の方程式は以下のようになる。

$$y - (a - a\cos t) = \frac{\sin t}{1 - \cos t} \{x - (at - a\sin t)\}$$

両辺に $1 - \cos t$ を掛けて整理する。

$$(1 - \cos t)y - a(1 - \cos t)^2 = (\sin t)x - at\sin t + a\sin^2 t$$

$$(\sin t)x - (1 - \cos t)y - at\sin t + a\{\sin^2 t + (1 - \cos t)^2\} = 0$$

ここで、$\sin^2 t + (1 - \cos t)^2 = \sin^2 t + 1 - 2\cos t + \cos^2 t = 2 - 2\cos t$ であるから、

$$(\sin t)x - (1 - \cos t)y - at\sin t + 2a(1 - \cos t) = 0$$

(2)

(1)で求めた接線を $l_1$ とする。 曲線 $C$ 上の点 $\text{P}(a(t+\pi) - a\sin(t+\pi), a - a\cos(t+\pi))$ は、媒介変数が $\theta = t+\pi$ のときの点である。 ここで、$0 < t < 2\pi$ より $\pi < t+\pi < 3\pi$ である。 $\theta = t+\pi$ における接線の傾きの分母にあたる $1 - \cos(t+\pi) = 1 + \cos t$ が $0$ になるのは、$t = \pi$ のときである。したがって、場合分けを行う。

(i) $t \neq \pi$ のとき

$1 + \cos t \neq 0$ であるため接線の傾きが定義でき、この点における接線を $l_2$ とすると、$l_2$ の方程式は $l_1$ の式の $t$ を $t+\pi$ に置き換えたものになる。

$$\sin(t+\pi)x - \{1 - \cos(t+\pi)\}y - a(t+\pi)\sin(t+\pi) + 2a\{1 - \cos(t+\pi)\} = 0$$

$\sin(t+\pi) = -\sin t$、$\cos(t+\pi) = -\cos t$ を代入して整理する。

$$(-\sin t)x - (1 + \cos t)y + a(t+\pi)\sin t + 2a(1 + \cos t) = 0$$

これと $l_1$ の方程式を連立して交点 $\text{R}$ を求める。 $l_1$ と $l_2$ の両辺を加えると、$x$ の項が消去される。

$$-2y + a\pi\sin t + 4a = 0$$

$$y = 2a + \frac{\pi a}{2}\sin t$$

次に、$l_1$ から $l_2$ の両辺を引く。

$$(2\sin t)x + (2\cos t)y - a(2t+\pi)\sin t - 4a\cos t = 0$$

これに求めた $y$ を代入する。

$$(2\sin t)x + 2\cos t\left(2a + \frac{\pi a}{2}\sin t\right) - 2at\sin t - a\pi\sin t - 4a\cos t = 0$$

展開して整理する。

$$(2\sin t)x + 4a\cos t + \pi a\sin t\cos t - 2at\sin t - a\pi\sin t - 4a\cos t = 0$$

$$(2\sin t)x + \pi a\sin t\cos t - 2at\sin t - a\pi\sin t = 0$$

$t \neq \pi$ かつ $0 < t < 2\pi$ より $\sin t \neq 0$ であるから、両辺を $\sin t$ で割ることができる。

$$2x + \pi a\cos t - 2at - \pi a = 0$$

$$2x = 2at + \pi a(1 - \cos t)$$

$$x = at + \frac{\pi a}{2}(1 - \cos t)$$

(ii) $t = \pi$ のとき

$l_1$ に $t = \pi$ を代入すると、$\sin\pi = 0, \cos\pi = -1$ より、

$$0\cdot x - 2y - 0 + 4a = 0 \implies y = 2a$$

一方、(2)で与えられた点は $\theta = 2\pi$ のときの点 $(2\pi a, 0)$ である。 $\theta = 2\pi$ において、$\frac{dx}{d\theta} = 0$ かつ $\frac{dy}{d\theta} = 0$ となるが、接線の傾きの極限を考えると、

$$\lim_{\theta \to 2\pi} \frac{dy}{dx} = \lim_{\theta \to 2\pi} \frac{\sin\theta}{1 - \cos\theta} = \lim_{\theta \to 2\pi} \frac{2\sin\frac{\theta}{2}\cos\frac{\theta}{2}}{2\sin^2\frac{\theta}{2}} = \lim_{\theta \to 2\pi} \frac{\cos\frac{\theta}{2}}{\sin\frac{\theta}{2}} = \pm\infty$$

となるため、この点における接線は $y$ 軸に平行な直線 $x = 2\pi a$ となる。 したがって、これら2直線の交点 $\text{R}$ の座標は $(2\pi a, 2a)$ である。 この結果は、(i) で求めた $x, y$ の式に $t = \pi$ を代入した以下の値と一致する。

$$x = a\pi + \frac{\pi a}{2}\{1 - (-1)\} = 2\pi a$$

$$y = 2a + \frac{\pi a}{2}\cdot 0 = 2a$$

以上(i), (ii)より、交点 $\text{R}$ の座標が定まる。

解説

サイクロイドの媒介変数表示に関する典型的な微分と軌跡の問題である。 (1)では分母を払った一般形 $ax+by+c=0$ の形で接線の方程式を求めておくと、(2)の連立方程式の計算が見通しよく進められる。 (2)で最も注意すべき点は、$\theta = t+\pi = 2\pi$（すなわち $t=\pi$）のときである。サイクロイドにおいて $\theta = 2\pi$ は曲線が $x$ 軸に接して尖る「尖点（cusp）」であり、微分係数 $\frac{dy}{dx}$ の分母が $0$ になる。このように傾きが垂直となる特異点での接線を代数的に処理するためには、$t=\pi$ と $t\neq\pi$ で場合分けを行う論理的配慮が求められる。計算結果としてどちらも同じ式に統合できるが、途中過程でのゼロ割り回避は厳密な答案作成において必須である。

答え

(1) $(\sin t)x - (1 - \cos t)y - at\sin t + 2a(1 - \cos t) = 0$

(2) $\text{R} \left( at + \frac{\pi a}{2}(1 - \cos t), 2a + \frac{\pi a}{2}\sin t \right)$