数学3 接線・不等式 問題 31 解説

方針・初手

接線の方程式を立て、それが点 $(a, b)$ を通る条件を $t$ の方程式に帰着させる。(1), (2)の誘導に従い、この方程式が実数解をもつ条件を考える。

解法1

(1)

$y = e^{-x^2}$ を微分すると

$$y' = -2x e^{-x^2}$$

となる。したがって、曲線上の点 $(t, e^{-t^2})$ における接線の傾きは $-2te^{-t^2}$ である。 この接線の方程式は

$$y - e^{-t^2} = -2te^{-t^2}(x - t)$$

$$y = -2te^{-t^2}x + (2t^2 + 1)e^{-t^2}$$

よって、接線の傾きは $-2te^{-t^2}$、$y$ 切片は $(2t^2 + 1)e^{-t^2}$ である。

(2)

(a)

$f(t) = (2t^2 - 2at + 1)e^{-t^2}$ を微分する。

$$\begin{aligned} f'(t) &= (4t - 2a)e^{-t^2} + (2t^2 - 2at + 1)e^{-t^2} \cdot (-2t) \\ &= (-4t^3 + 4at^2 + 2t - 2a)e^{-t^2} \\ &= -2(2t^3 - 2at^2 - t + a)e^{-t^2} \\ &= -2\{2t^2(t - a) - (t - a)\}e^{-t^2} \\ &= -2(t - a)(2t^2 - 1)e^{-t^2} \end{aligned}$$

$f'(t) = 0$ とすると、$t = a, \pm\frac{1}{\sqrt{2}}$ を得る。 条件 $a > \sqrt{2}$ より $a > \frac{1}{\sqrt{2}}$ であるから、これら3つの解の大小関係は $-\frac{1}{\sqrt{2}} < \frac{1}{\sqrt{2}} < a$ となる。 したがって、$f(t)$ の増減表は以下のようになる。

表の中で、$t = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ のとき

$$f\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = \left\{2\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 - 2a\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) + 1\right\}e^{-1/2} = (2 + \sqrt{2}a)e^{-1/2}$$

$t = \frac{1}{\sqrt{2}}$ のとき

$$f\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = \left\{2\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 - 2a\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) + 1\right\}e^{-1/2} = (2 - \sqrt{2}a)e^{-1/2}$$

$t = a$ のとき

$$f(a) = (2a^2 - 2a^2 + 1)e^{-a^2} = e^{-a^2}$$

以上より、 $t = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ のとき極大値 $(2 + \sqrt{2}a)e^{-1/2}$ $t = a$ のとき極大値 $e^{-a^2}$ $t = \frac{1}{\sqrt{2}}$ のとき極小値 $(2 - \sqrt{2}a)e^{-1/2}$ をとる。

(b)

$\lim_{t \to \pm\infty} f(t) = 0$ であり、(a) の増減表より $f(t)$ は $t = \frac{1}{\sqrt{2}}$ で最小となる。 最大値は、2つの極大値 $(2 + \sqrt{2}a)e^{-1/2}$ と $e^{-a^2}$ のうち小さくない方である。 $a > \sqrt{2}$ より、$2 + \sqrt{2}a > 2 + \sqrt{2}\cdot\sqrt{2} = 4$ であり、$e < 4$ より $e^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{e}} > \frac{1}{2}$ であるから、

$$(2 + \sqrt{2}a)e^{-1/2} > 4 \cdot \frac{1}{2} = 2$$

一方で、$a > \sqrt{2}$ より $a^2 > 2$ であるから、

$$e^{-a^2} < e^{-2} < 1$$

したがって、$(2 + \sqrt{2}a)e^{-1/2} > e^{-a^2}$ となり、$t = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ で最大となることがわかる。 ゆえに、$f(t)$ のとり得る値の範囲は

$$(2 - \sqrt{2}a)e^{-1/2} \leqq f(t) \leqq (2 + \sqrt{2}a)e^{-1/2}$$

である。

(3)

点 $(a, b)$ から曲線 $y = e^{-x^2}$ に接線を引くことができる条件は、(1) で求めた接線が点 $(a, b)$ を通るような実数 $t$ が少なくとも1つ存在することである。 接線の方程式に $x=a, y=b$ を代入すると

$$b = -2ae^{-t^2}t + (2t^2 + 1)e^{-t^2}$$

$$b = (2t^2 - 2at + 1)e^{-t^2}$$

$$b = f(t)$$

この方程式が実数解 $t$ をもつための条件は、$b$ の値が $f(t)$ のとり得る値の範囲に含まれることである。 (2) の結果より、求める条件は

$$(2 - \sqrt{2}a)e^{-1/2} \leqq b \leqq (2 + \sqrt{2}a)e^{-1/2}$$

である。

解説

接線の本数や存在条件を問う典型問題である。接点を $(t, f(t))$ とおいて接線の方程式を立て、それが通るべき点の座標を代入することで、$t$ の方程式に帰着させる手法は非常に重要である。 本問では丁寧に誘導がついており、微分を用いた関数の増減と極限から値域を求める基本的な操作が求められる。途中の極大値の大小比較において、$a > \sqrt{2}$ と自然対数の底 $e$ のおおよその値（$e \approx 2.71$）を意識して評価する必要がある点が少しだけ技巧的である。

答え

(1) 傾き: $-2te^{-t^2}$、$y$切片: $(2t^2 + 1)e^{-t^2}$

(2)(a) 極大値: $(2 + \sqrt{2}a)e^{-1/2} \ \ \left(t = -\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$、$e^{-a^2} \ \ (t = a)$。極小値: $(2 - \sqrt{2}a)e^{-1/2} \ \ \left(t = \frac{1}{\sqrt{2}}\right)$

(2)(b) $(2 - \sqrt{2}a)e^{-1/2} \leqq f(t) \leqq (2 + \sqrt{2}a)e^{-1/2}$

(3) $(2 - \sqrt{2}a)e^{-1/2} \leqq b \leqq (2 + \sqrt{2}a)e^{-1/2}$