数学3 接線・不等式 問題 32 解説

方針・初手

(1) は関数 $f(x)$ を $x$ について素直に2回微分し、与えられた条件から符号を判定する。

(2) は (1) で求めた $f''(x)$ の符号から $f'(x)$ の単調性を把握する。さらに区間の両端での $f(x)$ の値を調べ、ロルの定理（または平均値の定理）を利用して $f'(x) = 0$ となる点の存在を示す。

(3) は示すべき不等式の両辺が正であることに着目し、両辺の自然対数をとる。それが $f(x) \geqq 0$ と同値であることを確認した上で、(2) までの結果を用いて $f(x)$ の増減を調べ、最小値が $0$ 以上であることを示す。

解法1

(1)

$$f(x) = \log(ax + b(1-x)) - x\log a - (1-x)\log b$$

を $x$ について微分すると、

$$f'(x) = \frac{a-b}{ax + b(1-x)} - \log a + \log b$$

となる。さらに $x$ について微分すると、

$$f''(x) = -\frac{(a-b)^2}{(ax + b(1-x))^2}$$

となる。 条件より $a > b > 0$ であるから、$a-b > 0$ であり、$(a-b)^2 > 0$ である。 また、$0 < x < 1$ において、

$$ax + b(1-x) = (a-b)x + b > 0$$

であるため、分母について $(ax + b(1-x))^2 > 0$ である。 したがって、$0 < x < 1$ に対して、

$$f''(x) < 0$$

が成り立つ。

(2)

$f(x)$ に $x=0, 1$ をそれぞれ代入すると、

$$f(0) = \log b - \log b = 0$$

$$f(1) = \log a - \log a = 0$$

となる。 $f(x)$ は閉区間 $[0, 1]$ で連続であり、開区間 $(0, 1)$ で微分可能である。また $f(0) = f(1) = 0$ であるから、ロルの定理より、

$$f'(c) = 0$$

を満たす実数 $c$ が $0 < c < 1$ の範囲に少なくとも1つ存在する。 さらに、(1) より $0 < x < 1$ において $f''(x) < 0$ であるから、$f'(x)$ は区間 $0 < x < 1$ において単調に減少する。 単調減少であることから、関数 $f'(x)$ が同じ値をとることはないため、$f'(c) = 0$ を満たす実数 $c$ は、$0 < c < 1$ の範囲にただ1つ存在する。

(3)

示すべき不等式は $ax + b(1-x) \geqq a^x b^{1-x}$ である。 $a > 0, b > 0$ および $0 \leqq x \leqq 1$ より、両辺ともに正であるため、両辺の自然対数をとると、

$$\log(ax + b(1-x)) \geqq \log(a^x b^{1-x})$$

$$\log(ax + b(1-x)) \geqq x\log a + (1-x)\log b$$

$$\log(ax + b(1-x)) - x\log a - (1-x)\log b \geqq 0$$

すなわち、

$$f(x) \geqq 0$$

となる。したがって、$0 \leqq x \leqq 1$ において $f(x) \geqq 0$ が成り立つことを示せばよい。 (2) の結果より、$f'(c) = 0$ となる $c$ $(0 < c < 1)$ がただ1つ存在し、$f'(x)$ は単調減少する。 ゆえに、$0 \leqq x < c$ において $f'(x) > f'(c) = 0$ となり、$f(x)$ は単調に増加する。 また、$c < x \leqq 1$ において $f'(x) < f'(c) = 0$ となり、$f(x)$ は単調に減少する。 よって、$f(x)$ は区間 $0 \leqq x \leqq 1$ において $x=c$ のとき極大かつ最大となり、最小値は両端の値 $f(0)$ または $f(1)$ のいずれかとなる。 $f(0) = 0, f(1) = 0$ であるから、区間 $0 \leqq x \leqq 1$ における $f(x)$ の最小値は $0$ である。 したがって、$0 \leqq x \leqq 1$ を満たす実数 $x$ に対して、

$$f(x) \geqq 0$$

が成り立つ。 以上より、$0 \leqq x \leqq 1$ を満たす実数 $x$ に対して、$ax + b(1-x) \geqq a^x b^{1-x}$ が成り立つ。

解説

本問は対数関数 $y = \log x$ のグラフが上に凸であることを利用して、重み付きの相加平均と相乗平均の大小関係（あるいはイェンゼンの不等式の特別な場合）を証明する典型的な誘導問題である。

(1) で2階導関数が負であることを確認し、曲線の凹凸を調べている。 (2) では、$f(0)=f(1)=0$ という端点の値に着目することで、ロルの定理を用いて導関数が $0$ となる点の存在を簡潔に示すことができる。直接 $f'(0)$ や $f'(1)$ の符号を評価して中間値の定理を用いる方針も考えられるが、対数の評価が必要となり手間がかかるため、ロルの定理を利用するのが賢明である。 (3) は、不等式の両辺が正であることを確認した上で対数をとる操作がポイントである。この変形により、証明すべき不等式が $f(x) \geqq 0$ へと帰着される。あとは (2) までの増減の様子をまとめれば容易に示せる。

答え

(1) 題意の通り示された。

(2) 題意の通り示された。

(3) 題意の通り示された。