数学3 接線・不等式 問題 34 解説

方針・初手

(1) 与えられた関数 $f(x)$ を微分し、導関数 $f'(x)$ の符号を調べることで、関数の増減を判定する。商の微分法を用いる。

(2) (1) で調べた関数 $f(x)$ の増減を利用する。$e^\pi$ と $\pi^e$ の大小比較は、両辺の自然対数をとることで $\frac{\log x}{x}$ の形を作り出し、(1) の結果に帰着させるのが定石である。$e$ と $\pi$ の大小関係に着目する。

解法1

(1)

$x > 0$ において、関数 $f(x) = \frac{\log x}{x}$ を微分すると

$$f'(x) = \frac{(\log x)' \cdot x - \log x \cdot (x)'}{x^2} = \frac{\frac{1}{x} \cdot x - \log x \cdot 1}{x^2} = \frac{1 - \log x}{x^2}$$

となる。

$f'(x) = 0$ とすると、$1 - \log x = 0$ より $\log x = 1$ すなわち $x = e$ である。

したがって、$x > 0$ における $f(x)$ の増減表は次のようになる。

ゆえに、$f(x)$ は $0 < x \le e$ において単調に増加し、$x \ge e$ において単調に減少する。

(2)

ネイピア数 $e$ と円周率 $\pi$ の大小関係は $e < \pi$ である。

(1) の結果より、関数 $f(x) = \frac{\log x}{x}$ は $x \ge e$ の範囲で単調に減少するため、$e < \pi$ において次が成り立つ。

$$f(e) > f(\pi)$$

すなわち

$$\frac{\log e}{e} > \frac{\log \pi}{\pi}$$

である。

$e > 0, \pi > 0$ であるから、両辺に $e\pi$ を掛けると

$$\pi \log e > e \log \pi$$

対数の性質より

$$\log e^\pi > \log \pi^e$$

となる。

対数の底 $e$ は $e > 1$ であるから、真数の大小関係は変わらず、次が成り立つ。

$$e^\pi > \pi^e$$

解説

累乗の形をした2つの数の大小関係を比較する典型問題である。そのままでは比較が困難な場合、両辺の自然対数をとり、$\frac{\log x}{x}$ などの関数の値の比較に帰着させる手法が非常に有効である。本問では (1) がそのための誘導となっている。

増減を調べる際には、極値だけでなく、どの区間で単調増加し、どの区間で単調減少するかを明確に記述することが求められる。また、(2) で対数の大小から真数の大小へ移行する際、「底 $e$ が $1$ より大きい」という単調性に関する記述を忘れないように注意したい。

答え

(1)

$0 < x \le e$ で単調増加

$x \ge e$ で単調減少

(2)

$e^\pi > \pi^e$