トップ› 基礎問題› 数学3› 微分法› 接線・不等式› 問題 36

数学3 接線・不等式問題 36 解説

方針・初手

微分を用いて接線の傾きを求め、そこから垂直な直線の傾きを利用して法線の方程式を立てる。交点の座標を求め、指定された点との距離を計算する。このとき、距離は負にならないため絶対値を忘れないようにする。後半の最大値・最小値の計算では、2倍角の公式を用いて1つの三角関数にまとめ、角の範囲に注意して増減を調べる。

解法1

$y = \cos x$ を微分すると $y' = -\sin x$ である。曲線上の点 $(a, \cos a)$ における接線の傾きは $-\sin a$ となる。条件 $a \neq 0, \pm \pi, \pm 2\pi, \cdots$ より $\sin a \neq 0$ であるから、法線の傾きは $\frac{1}{\sin a}$ となる。したがって、法線の方程式は、

$$y - \cos a = \frac{1}{\sin a} (x - a)$$

$$y = \frac{1}{\sin a} (x - a) + \cos a$$

となる。これが [ア] である。

次に、法線と $x$ 軸の交点 $\text{P}$ の座標を求める。上の式に $y = 0$ を代入すると、

$$0 = \frac{1}{\sin a} (x - a) + \cos a$$

$$\frac{1}{\sin a} (x - a) = -\cos a$$

$$x - a = -\sin a \cos a$$

$$x = a - \sin a \cos a$$

よって、交点 $\text{P}$ の座標は $(a - \sin a \cos a, 0)$ となる。これが [イ] である。

交点 $\text{P}(a - \sin a \cos a, 0)$ と点 $(a, 0)$ の距離 $f(a)$ は、$x$ 座標の差の絶対値であるから、

$$f(a) = |(a - \sin a \cos a) - a| = |-\sin a \cos a| = |\sin a \cos a|$$

と表せる。これが [ウ] である。

もし $\frac{\pi}{8} \leqq a \leqq \frac{\pi}{3}$ であれば、$a$ は第1象限の角であり、$\sin a > 0, \cos a > 0$ となる。したがって、絶対値記号はそのまま外すことができ、2倍角の公式を用いると、

$$f(a) = \sin a \cos a = \frac{1}{2} \sin 2a$$

と変形できる。 $a$ の範囲が $\frac{\pi}{8} \leqq a \leqq \frac{\pi}{3}$ であるとき、$2a$ のとり得る値の範囲は、

$$\frac{\pi}{4} \leqq 2a \leqq \frac{2\pi}{3}$$

である。この範囲において、関数 $\sin 2a$ は $2a = \frac{\pi}{2}$ のときに最大値 $1$ をとる。端点の値はそれぞれ $\sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$、$\sin \frac{2\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ であり、これらの大小関係は $\frac{\sqrt{2}}{2} < \frac{\sqrt{3}}{2}$ である。

よって、$f(a)$ は、 $2a = \frac{\pi}{2}$ すなわち $a = \frac{\pi}{4}$ のとき、最大値 $\frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}$ をとる。 $2a = \frac{\pi}{4}$ すなわち $a = \frac{\pi}{8}$ のとき、最小値 $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{4}$ をとる。

これらがそれぞれ [エ]、[オ]、[カ]、[キ] である。

解説

法線の方程式の立式から座標の計算までは、微分法の基本的な計算問題である。距離 $f(a)$ を求める際、$a$ の範囲がまだ限定されていないため、絶対値記号が必要になる点に注意が必要である。後半は三角関数の合成や2倍角の公式の典型的な応用であり、変域を正確に求めたうえで単位円をイメージすれば最大値・最小値は容易に判断できる。