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数学3 接線・不等式問題 38 解説

方針・初手

(1) は微分を用いて接線 $l$ の方程式を求め、点と直線の距離の公式を用いて線分 $\text{OP}$ の長さを計算する。

(2) は $y$ 切片の座標から線分 $\text{OQ}$ の長さを求め、直角三角形 $\text{OPQ}$ に着目して $\cos\theta$ を求め、相互関係から $\sin\theta$ を導出する。

(3) は $\sin\theta$ の式から最大値を求めるが、根号の中に変数を含むため、$\sin^2\theta$ の逆数をとって微分し、最小値を求める方針が有効である。式が偶関数であることに着目して定義域を絞る。

解法1

(1)

$f(x) = e^{-x^2}$ を微分すると、合成関数の微分法より以下のようになる。

$$f'(x) = -2xe^{-x^2}$$

点 $\text{A}(a, e^{-a^2})$ における接線 $l$ の方程式は、

$$y - e^{-a^2} = -2ae^{-a^2}(x - a)$$

$$2ae^{-a^2}x + y - e^{-a^2}(2a^2 + 1) = 0$$

点 $\text{P}$ は原点 $\text{O}$ から接線 $l$ に下ろした垂線の足であるから、線分 $\text{OP}$ の長さは原点 $\text{O}(0, 0)$ と直線 $l$ との距離に等しい。

点と直線の距離の公式より、

$$\text{OP} = \frac{|-e^{-a^2}(2a^2 + 1)|}{\sqrt{(2ae^{-a^2})^2 + 1^2}}$$

ここで、$e^{-a^2} > 0$ かつ $2a^2 + 1 > 0$ であるから、絶対値記号はそのまま外すことができる。

$$\text{OP} = \frac{e^{-a^2}(2a^2 + 1)}{\sqrt{4a^2e^{-2a^2} + 1}}$$

分母と分子に $e^{a^2}$ を掛けて整理する。

$$\text{OP} = \frac{2a^2 + 1}{\sqrt{4a^2 + e^{2a^2}}}$$

(2)

直線 $l$ の方程式に $x = 0$ を代入して $y$ 切片を求める。

$$y = e^{-a^2}(2a^2 + 1)$$

よって、点 $\text{Q}$ の座標は $(0, e^{-a^2}(2a^2 + 1))$ であり、線分 $\text{OQ}$ の長さは以下の通りである。

$$\text{OQ} = e^{-a^2}(2a^2 + 1)$$

直線 $\text{OP}$ と直線 $l$ は垂直であるから、$\triangle\text{OPQ}$ は $\angle\text{OPQ} = \frac{\pi}{2}$ の直角三角形である。

$\angle\text{POQ} = \theta$ であるから、直角三角形の三角比の定義より、

$$\cos\theta = \frac{\text{OP}}{\text{OQ}} = \frac{ \frac{e^{-a^2}(2a^2 + 1)}{\sqrt{4a^2e^{-2a^2} + 1}} }{ e^{-a^2}(2a^2 + 1) } = \frac{1}{\sqrt{4a^2e^{-2a^2} + 1}}$$

$0 \le \theta \le \pi$ より $\sin\theta \ge 0$ であるため、三角比の相互関係を用いて $\sin\theta$ を求める。

$$\sin\theta = \sqrt{1 - \cos^2\theta} = \sqrt{1 - \frac{1}{4a^2e^{-2a^2} + 1}} = \sqrt{\frac{4a^2e^{-2a^2}}{4a^2e^{-2a^2} + 1}}$$

根号を整理し、分母と分子に $e^{a^2}$ を掛ける。 $\sqrt{a^2} = |a|$ であることに注意する。

$$\sin\theta = \frac{2|a|e^{-a^2}}{\sqrt{4a^2e^{-2a^2} + 1}} = \frac{2|a|}{\sqrt{4a^2 + e^{2a^2}}}$$

(3)

$\sin\theta \ge 0$ より、$\sin\theta$ が最大となるとき、$\sin^2\theta$ も最大となる。

$a = 0$ のとき $\sin\theta = 0$ となり最大値はとらないため、$a \neq 0$ と仮定してよい。

$\sin^2\theta$ の逆数を考えると、

$$\frac{1}{\sin^2\theta} = \frac{4a^2 + e^{2a^2}}{4a^2} = 1 + \frac{e^{2a^2}}{4a^2}$$

$\sin^2\theta$ が最大となるとき、$\frac{1}{\sin^2\theta}$ は最小となる。

そこで、第2項を $h(a) = \frac{e^{2a^2}}{4a^2}$ とおく。

$h(a)$ は偶関数（$h(-a) = h(a)$）であるため、$a > 0$ の範囲で増減を調べる。

$$h'(a) = \frac{ (e^{2a^2})' \cdot 4a^2 - e^{2a^2} \cdot (4a^2)' }{(4a^2)^2}$$

$$h'(a) = \frac{ 4ae^{2a^2} \cdot 4a^2 - e^{2a^2} \cdot 8a }{ 16a^4 } = \frac{ 8ae^{2a^2}(2a^2 - 1) }{ 16a^4 } = \frac{ e^{2a^2}(2a^2 - 1) }{ 2a^3 }$$

$a > 0$ において $h'(a) = 0$ となるのは、$2a^2 - 1 = 0$ すなわち $a = \frac{1}{\sqrt{2}}$ のときである。

$a > 0$ における増減表は以下のようになる。

$$\begin{array}{c|ccc} a & (0) & \cdots & \frac{1}{\sqrt{2}} & \cdots \\ \hline h'(a) & & - & 0 & + \\ \hline h(a) & & \searrow & 極小 & \nearrow \\ \end{array}$$

増減表より、$h(a)$ は $a = \frac{1}{\sqrt{2}}$ のとき最小となる。

このときの $h(a)$ の最小値は、

$$h\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = \frac{e^{2(1/2)}}{4(1/2)} = \frac{e}{2}$$

したがって、$\frac{1}{\sin^2\theta}$ の最小値は $1 + \frac{e}{2} = \frac{e+2}{2}$ となり、$\sin^2\theta$ の最大値は $\frac{2}{e+2}$ である。

$\sin\theta \ge 0$ より、$\sin\theta$ の最大値は $\sqrt{\frac{2}{e+2}}$ となる。

また、$h(a)$ は偶関数であるため、$a = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ のときも同様に最大値をとる。