数学3 接線・不等式 問題 39 解説

方針・初手

指数関数 $y = a^x$ の導関数の公式 $(a^x)' = a^x \log a$ を用いて、点 $\mathrm{P}$ における接線の傾きを求める。また、法線は接線と直交することから、傾きの積が $-1$ になる性質を利用して法線の傾きを求め、直線の方程式を立てる。

解法1

関数を $f(x) = 3^x$ とおくと、その導関数は

$$f'(x) = 3^x \log 3$$

である。

曲線 $y = f(x)$ 上の点 $\mathrm{P}(a, 3^a)$ における接線の傾きは $f'(a) = 3^a \log 3$ となる。 したがって、接線の方程式は

$$y - 3^a = 3^a \log 3 \cdot (x - a)$$

展開して整理すると

$$y = (3^a \log 3) x + 3^a (1 - a \log 3)$$

となる。これが [ア] に入る式である。

次に、点 $\mathrm{P}$ における法線の傾きを $m$ とおく。 接線と法線は直交するため、それらの傾きの積は $-1$ である。よって

$$(3^a \log 3) m = -1$$

$$m = -\frac{1}{3^a \log 3}$$

となる。 したがって、法線の方程式は

$$y - 3^a = -\frac{1}{3^a \log 3} (x - a)$$

展開して整理すると

$$y = -\frac{1}{3^a \log 3} x + \frac{a}{3^a \log 3} + 3^a$$

となる。これが [イ] に入る式である。

解説

指数関数の微分の基本事項を確認する問題である。底が自然対数の底 $e$ ではないため、微分した際に $\log 3$ が掛かることを忘れないように注意したい。接線と法線の方程式については、基本公式 $y - y_1 = m(x - x_1)$ に代入するだけであり、定数部分のまとめ方は上記解答以外にも、括弧でくくったままの形でも正解として扱われることが多い。

答え

[ア] $(3^a \log 3) x + 3^a (1 - a \log 3)$

[イ] $-\frac{1}{3^a \log 3} x + \frac{a}{3^a \log 3} + 3^a$

（※ それぞれ $3^a \log 3 \cdot (x - a) + 3^a$、$-\frac{1}{3^a \log 3} (x - a) + 3^a$ といった形でもよい）