数学3 接線・不等式 問題 40 解説

方針・初手

(1) は、微分関数の積の微分公式と合成関数の微分公式を用いて導関数 $f'(x)$ を求め、増減表を書いて極値を求める。

(2) は、2つの接線が垂直に交わる条件「傾きの積が $-1$」を用いる。$a$ が正の定数であることに注意して方程式を解く。

解法1

(1)

与えられた関数 $f(x) = x^2 e^{-2x}$ について、導関数 $f'(x)$ を計算する。

$$f'(x) = 2x e^{-2x} + x^2 \cdot (-2) e^{-2x} = -2x(x-1)e^{-2x}$$

$f'(x) = 0$ となる $x$ の値は、$-2x(x-1) = 0$ より $x = 0, 1$ である。 これをもとに $f(x)$ の増減表を書くと、次のようになる。

$x < 0$ のとき、$f'(x) < 0$ $0 < x < 1$ のとき、$f'(x) > 0$ $x > 1$ のとき、$f'(x) < 0$

したがって、$f(x)$ は $x=0$ で極小、$x=1$ で極大となる。 それぞれの極値は以下の通りである。

$$f(0) = 0^2 \cdot e^0 = 0$$

$$f(1) = 1^2 \cdot e^{-2} = \frac{1}{e^2}$$

(2)

曲線 $y = f(x)$ 上の点 $(t, f(t))$ における接線の傾きは $f'(t)$ である。 したがって、点 $(a, f(a))$ における接線の傾きは $f'(a)$、点 $(-a, f(-a))$ における接線の傾きは $f'(-a)$ となる。

この2つの接線が垂直に交わる条件は、傾きの積が $-1$ となることである。

$$f'(a) f'(-a) = -1$$

(1) で求めた導関数に代入して計算する。

$$f'(a) = -2a(a-1)e^{-2a}$$

$$f'(-a) = -2(-a)(-a-1)e^{-2(-a)} = 2a(a+1)e^{2a}$$

これらを掛け合わせると、

$$\{-2a(a-1)e^{-2a}\} \cdot \{2a(a+1)e^{2a}\} = -1$$

$$-4a^2(a-1)(a+1)e^{-2a+2a} = -1$$

$e^0 = 1$ であるから、

$$-4a^2(a^2-1) = -1$$

$$4a^4 - 4a^2 - 1 = 0$$

これを $a^2$ についての2次方程式とみて解の公式を用いると、

$$a^2 = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot (-1)}}{4} = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{4} = \frac{1 \pm \sqrt{2}}{2}$$

$a$ は正の定数であるから $a^2 > 0$ であり、また $\sqrt{2} > 1$ であるため $\frac{1 - \sqrt{2}}{2} < 0$ となる。 したがって、適するのは以下の値のみである。

$$a^2 = \frac{1 + \sqrt{2}}{2}$$

さらに $a > 0$ であるから、

$$a = \sqrt{\frac{1 + \sqrt{2}}{2}}$$

分母を有理化して $\frac{\sqrt{2 + 2\sqrt{2}}}{2}$ と表記してもよい。

解説

指数関数と多項式の積で表された関数の微分の基本問題である。 (1) の微分計算では、符号のミスや $e^{-2x}$ の微分における合成関数の扱い（$-2$ を掛け忘れる等）に注意する必要がある。 (2) においては、「2直線が垂直に交わる $\iff$ 傾きの積が $-1$」という図形と方程式の基本的な性質を利用する。計算過程で $e^{-2a}$ と $e^{2a}$ の積が $1$ となり、指数部分が上手く消去されて代数方程式に帰着できるのがポイントである。また、最後に $a$ を求める際、$a>0$ という条件から適切に解を絞り込む操作を忘れてはならない。

答え

(1)

極大値: $\frac{1}{e^2}$ ($x=1$ のとき)

極小値: $0$ ($x=0$ のとき)

(2)

$a = \sqrt{\frac{1+\sqrt{2}}{2}}$