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数学3 接線・不等式問題 41 解説

方針・初手

(1)は与えられた関数を微分して増減を調べ、最小値を求める。 (2)は不等式を(1)で考えた関数の形に帰着させ、「常に不等式が成り立つ」という条件を「(最小値) $> 1$」という条件に言い換える。

解法1

(1)

与えられた関数 $g(x) = e^x x^{-t}$ を $x$ について微分する。積の微分公式より

$$\begin{aligned} g'(x) &= (e^x)' x^{-t} + e^x (x^{-t})' \\ &= e^x x^{-t} + e^x (-t x^{-t-1}) \\ &= x^{-t-1} e^x (x - t) \end{aligned}$$

$x > 0$ において、$x^{-t-1} > 0$ かつ $e^x > 0$ であるから、$g'(x)$ の符号は $x - t$ の符号と一致する。 $t$ は正の定数であるから、$x > 0$ における $g(x)$ の増減表は次のようになる。

$x$	$(0)$	$\cdots$	$t$	$\cdots$
$g'(x)$		$-$	$0$	$+$
$g(x)$		$\searrow$	極小かつ最小	$\nearrow$

よって、$g(x)$ は $x = t$ のとき最小値をとる。その最小値は

$$g(t) = e^t t^{-t} = \left( \frac{e}{t} \right)^t$$

である。

(2)

すべての正の実数 $x$ に対して $e^x > x^t$ が成り立つための必要十分条件を求める。 $x > 0$ より $x^t > 0$ であるから、不等式の両辺を $x^t$ で割ると

$$\frac{e^x}{x^t} > 1$$

すなわち

$$g(x) > 1$$

となる。したがって、求める必要十分条件は、すべての正の実数 $x$ に対して $g(x) > 1$ が成り立つこと、すなわち

$$(g(x) \text{の最小値}) > 1$$

が成り立つことである。 (1) の結果より、$g(x)$ の最小値は $\left( \frac{e}{t} \right)^t$ であるから

$$\left( \frac{e}{t} \right)^t > 1$$

両辺は正であるから、底 $e$ の自然対数をとると

$$\log \left( \frac{e}{t} \right)^t > \log 1$$

$$t (\log e - \log t) > 0$$

$$t (1 - \log t) > 0$$

$t$ は正の定数であるから $t > 0$ であり、両辺を $t$ で割ると

$$1 - \log t > 0$$

$$\log t < 1$$

底 $e$ は $1$ より大きいので

$$t < e^1 = e$$

を得る。以上より、すべての正の実数 $x$ に対して $e^x > x^t$ が成り立つための必要十分条件は、$t < e$ であることが示された。

解説

(1)で求めた関数の最小値を用いて、(2)の不等式の成立条件を議論する典型的な誘導問題である。不等式 $A > B$ が常に成り立つ条件を考える際、「$(A - B \text{の最小値}) > 0$」とする手法や、本問のように両辺が正であることを利用して「$\left(\frac{A}{B} \text{の最小値}\right) > 1$」とする手法は頻出である。また、(2)の最後で指数や対数を含む不等式を解く際、真数条件や底と $1$ の大小関係（今回は底が $e > 1$）に注意して同値変形を行うことが重要である。