数学3 接線・不等式 問題 43 解説

方針・初手

曲線上の点 $(t, f(t))$ における接線の方程式を立て、それが原点 $(0,0)$ を通るという条件を処理する。さらに、その接線の傾きが $9e^2$ であるという条件と連立して、接点の座標とパラメータ $a$ の値を決定する。

解法1

与えられた関数を $f(x) = \frac{\log(ax)}{x^2}$ とおく。 真数条件より $ax > 0$ であり、問題の条件 $a > 0$ より定義域は $x > 0$ である。 $f(x)$ を微分すると、商の微分法より

$$\begin{aligned} f'(x) &= \frac{\frac{1}{ax} \cdot a \cdot x^2 - \log(ax) \cdot 2x}{(x^2)^2} \\ &= \frac{x - 2x\log(ax)}{x^4} \\ &= \frac{1 - 2\log(ax)}{x^3} \end{aligned}$$

となる。

曲線上の接点を $(t, f(t))$（ただし $t > 0$）とおくと、この点における接線の方程式は、

$$y - \frac{\log(at)}{t^2} = \frac{1 - 2\log(at)}{t^3} (x - t)$$

と表される。 この接線が原点 $(0,0)$ を通るため、上の式に $x=0, y=0$ を代入して、

$$-\frac{\log(at)}{t^2} = -t \cdot \frac{1 - 2\log(at)}{t^3}$$

$$\frac{\log(at)}{t^2} = \frac{1 - 2\log(at)}{t^2}$$

$t > 0$ より両辺に $t^2$ を掛けて整理すると、

$$\log(at) = 1 - 2\log(at)$$

$$3\log(at) = 1$$

$$\log(at) = \frac{1}{3}$$

を得る。 また、接線の傾きは $\frac{1 - 2\log(at)}{t^3}$ であり、問題の条件よりこの傾きが $9e^2$ であるから、

$$\frac{1 - 2\log(at)}{t^3} = 9e^2$$

これに先ほど求めた $\log(at) = \frac{1}{3}$ を代入すると、

$$\frac{1 - 2 \cdot \frac{1}{3}}{t^3} = 9e^2$$

$$\frac{1}{3t^3} = 9e^2$$

$$t^3 = \frac{1}{27e^2}$$

$t$ は実数であるから、

$$t = \left( \frac{1}{3^3 e^2} \right)^{\frac{1}{3}} = \frac{1}{3e^{\frac{2}{3}}}$$

となる。これは $t > 0$ を満たしている。

一方、$\log(at) = \frac{1}{3}$ より、

$$at = e^{\frac{1}{3}}$$

である。ここに $t = \frac{1}{3e^{\frac{2}{3}}}$ を代入して $a$ について解くと、

$$a \cdot \frac{1}{3e^{\frac{2}{3}}} = e^{\frac{1}{3}}$$

$$a = 3e^{\frac{2}{3}} \cdot e^{\frac{1}{3}}$$

$$a = 3e$$

となる。これは問題の条件 $a > 0$ を満たす。

解説

接線に関する基本的な問題である。接点が与えられていない場合は、接点の $x$ 座標を文字でおいて接線の方程式を立てるのが定石である。 「傾きが与えられている」ことと「特定の点（原点）を通る」という2つの条件から、2つの式を立てて連立方程式として解く。 計算の工夫として、傾きの式に $\log(at)$ が含まれているため、先に「原点を通る」という条件から $\log(at)$ の値を求めてしまうことで、傾きの式から対数が消え、$t$ の計算が非常に楽になる。

答え

$a = 3e$