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数学3 接線・不等式問題 47 解説

方針・初手

(1) 関数 $f(x) = \log x$ に対して平均値の定理を適用して不等式を証明する。 (2) 関数 $y = \log x$ のグラフ上の点 $\text{C}(t, \log t)$ と直線 $\text{AB}$ との $y$ 軸方向の距離 $l(t)$ を立式し、微分を用いて最大値 $L$ を求める。結果を $h = \frac{b}{a}$ を用いて整理する。 (3) (2) で考えた距離 $l(t)$ を活用する。$\frac{p+q+r}{3}$ や $\sqrt[3]{pqr}$ といった形を作り出すために、$p, q, r$ およびその平均 $\frac{p+q+r}{3}$ を $l(t)$ に代入した式を比較する。

解法1

(1)

関数 $f(x) = \log x$ は $x > 0$ において連続かつ微分可能であり、$f'(x) = \frac{1}{x}$ である。区間 $[a, b]$ において平均値の定理を用いると、

$$\frac{\log b - \log a}{b - a} = f'(c)$$

を満たす $c$ が $a < c < b$ の範囲に存在する。 $f'(c) = \frac{1}{c}$ であり、$0 < a < c < b$ より、各辺の逆数をとると不等号の向きが反転し、

$$\frac{1}{b} < \frac{1}{c} < \frac{1}{a}$$

が成り立つ。したがって、

$$\frac{1}{b} < \frac{\log b - \log a}{b - a} < \frac{1}{a}$$

各辺は正であるから、再び逆数をとると不等号の向きが反転し、

$$a < \frac{b - a}{\log b - \log a} < b$$

が成り立つ。（証明終）

(2)

点 $\text{C}$ の $x$ 座標を $t$ $(a \leqq t \leqq b)$ とすると、点 $\text{C}$ の座標は $(t, \log t)$ である。 2点 $\text{A}(a, \log a)$ と $\text{B}(b, \log b)$ を通る直線 $\text{AB}$ の方程式は、

$$y = \frac{\log b - \log a}{b - a} (x - a) + \log a$$

である。点 $\text{P}$ は直線 $\text{AB}$ 上にあり、$x$ 座標が $t$ であるから、点 $\text{P}$ の $y$ 座標は

$$\frac{\log b - \log a}{b - a} (t - a) + \log a$$

となる。曲線 $y = \log x$ は上に凸であるから、区間 $a \leqq t \leqq b$ において曲線は直線 $\text{AB}$ の上側（または直線上）にある。したがって、線分 $\text{CP}$ の長さ $l(t)$ は、

$$l(t) = \log t - \left\{ \frac{\log b - \log a}{b - a} (t - a) + \log a \right\}$$

と表される。$l(t)$ を $t$ で微分すると、

$$l'(t) = \frac{1}{t} - \frac{\log b - \log a}{b - a}$$

$l'(t) = 0$ となる $t$ を $t_0$ とすると、

$$t_0 = \frac{b - a}{\log b - \log a}$$

(1) より $a < t_0 < b$ である。 $a \leqq t < t_0$ のとき、$\frac{1}{t} > \frac{1}{t_0}$ より $l'(t) > 0$ であり、$t_0 < t \leqq b$ のとき、$\frac{1}{t} < \frac{1}{t_0}$ より $l'(t) < 0$ となる。したがって、$l(t)$ は $t = t_0$ で極大かつ最大となり、その最大値が $L$ である。

$$L = l(t_0) = \log t_0 - \frac{\log b - \log a}{b - a} (t_0 - a) - \log a$$

ここで、$\frac{\log b - \log a}{b - a} = \frac{1}{t_0}$ であるから、

$$\begin{aligned} L &= \log t_0 - \frac{1}{t_0} (t_0 - a) - \log a \\ &= \log t_0 - 1 + \frac{a}{t_0} - \log a \\ &= \log \frac{t_0}{a} - 1 + \frac{a}{t_0} \end{aligned}$$

次に、$t_0$ を $a$ と $h = \frac{b}{a}$ を用いて表す。$b = a h$ であり、$0 < a < b$ より $h > 1$ である。

$$t_0 = \frac{a h - a}{\log (a h) - \log a} = \frac{a(h - 1)}{\log h}$$

よって、

$$\frac{t_0}{a} = \frac{h - 1}{\log h}, \quad \frac{a}{t_0} = \frac{\log h}{h - 1}$$

これらを $L$ の式に代入すると、

$$L = \log \left( \frac{h - 1}{\log h} \right) + \frac{\log h}{h - 1} - 1$$

(3)

(2) で定めた関数 $l(t)$ は、

$$l(t) = \log t - (k t + m)$$

と表せる。ただし、$k = \frac{\log b - \log a}{b - a}$、$m = \log a - k a$ とおいた。 (2) より、区間 $[a, b]$ において $l(t)$ の最大値は $L$ であるため、任意の $t \in [a, b]$ に対して

$$l(t) \leqq L$$

が成り立つ。また、$p, q, r$ は区間 $(a, b)$ にあるため、曲線 $y = \log x$ は直線 $y = k x + m$ の真上にある。したがって、

$$l(p) > 0, \quad l(q) > 0, \quad l(r) > 0$$

が成り立つ。さらに、$a < p < b$, $a < q < b$, $a < r < b$ より、その相加平均 $X = \frac{p + q + r}{3}$ も $a < X < b$ を満たす。よって、$l(X) \leqq L$ である。ここで、$l(X)$ の式を展開すると、

$$\begin{aligned} l(X) &= \log X - (k X + m) \\ &= \log \left( \frac{p + q + r}{3} \right) - \left( k \frac{p + q + r}{3} + m \right) \end{aligned}$$

一方、$l(p), l(q), l(r)$ の相加平均を計算すると、

$$\begin{aligned} \frac{l(p) + l(q) + l(r)}{3} &= \frac{(\log p - k p - m) + (\log q - k q - m) + (\log r - k r - m)}{3} \\ &= \frac{\log p + \log q + \log r}{3} - k \frac{p + q + r}{3} - m \\ &= \log \sqrt[3]{pqr} - \left( k \frac{p + q + r}{3} + m \right) \end{aligned}$$

となる。上の2式から、一次関数部分 $\left( k \frac{p + q + r}{3} + m \right)$ を消去すると、

$$l(X) - \log \left( \frac{p + q + r}{3} \right) = \frac{l(p) + l(q) + l(r)}{3} - \log \sqrt[3]{pqr}$$

移項して整理すると、

$$\log \left( \frac{p + q + r}{3} \right) - \log \sqrt[3]{pqr} = l(X) - \frac{l(p) + l(q) + l(r)}{3}$$

ここで、$l(X) \leqq L$ であり、かつ $l(p) > 0, l(q) > 0, l(r) > 0$ であるから、

$$l(X) - \frac{l(p) + l(q) + l(r)}{3} < l(X) \leqq L$$

が成り立つ。したがって、

$$\log \left( \frac{p + q + r}{3} \right) - \log \sqrt[3]{pqr} < L$$

$$\log \left( \frac{p + q + r}{3 \sqrt[3]{pqr}} \right) < L$$

底 $e$ は $1$ より大きいため、

$$\frac{p + q + r}{3 \sqrt[3]{pqr}} < e^L$$

両辺に $\sqrt[3]{pqr} (> 0)$ を掛けると、

$$\frac{p + q + r}{3} < e^L \sqrt[3]{pqr}$$

が成り立つ。（証明終）

解説

微分法と不等式証明を組み合わせた、総合的な微積分・関数問題である。 (1) は平均値の定理を用いる典型的な不等式証明である。関数 $f(x) = \log x$ に適用することで容易に示すことができる。 (2) は図形的な意味を式に翻訳する問題である。最大値を与える $t$ を求め、与えられた変数 $h$ で結果を整理する計算力が求められる。 (3) が本問の最大の難所である。(2) で考えた線分の長さ $l(t)$ が、対数関数 $\log t$ と一次関数 $k t + m$ の差として表されることに着目し、それぞれの値 $p, q, r$ およびその平均 $\frac{p+q+r}{3}$ を $l(t)$ に代入して差をとるという発想が必要になる。一次関数の性質上、$p, q, r$ の平均を代入したときの値と、$p, q, r$ をそれぞれ代入した値の平均が一致すること（すなわち、線形性）を利用して対数以外の部分をうまく消去する手法は、凸不等式の証明の根底にもある重要な考え方である。