数学3 接線・不等式 問題 51 解説

方針・初手

与えられた不等式の各辺は正であるため、各辺の自然対数をとって比較する。

示すべき不等式は以下のようになる。

$$x \log \left( 1 + \frac{1}{x} \right) < 1 < \left( x + \frac{1}{2} \right) \log \left( 1 + \frac{1}{x} \right)$$

この不等式の左辺および右辺をそれぞれ $x > 0$ を定義域とする関数とみなし、導関数を求めて増減および極限を調べることで証明を進める。

解法1

不等式の各辺は正であるから、自然対数をとっても大小関係は同値である。 したがって、すべての正の実数 $x$ に対して、以下の不等式が成り立つことを示せばよい。

$$x \log \left( 1 + \frac{1}{x} \right) < 1 < \left( x + \frac{1}{2} \right) \log \left( 1 + \frac{1}{x} \right)$$

左側の不等式の証明

$f(x) = x \log \left( 1 + \frac{1}{x} \right) = x \{ \log (x+1) - \log x \}$ とおく。 $x > 0$ においてこれを微分すると、

$$f'(x) = \log(x+1) - \log x + x \left( \frac{1}{x+1} - \frac{1}{x} \right) = \log \left( 1 + \frac{1}{x} \right) - \frac{1}{x+1}$$

さらに微分すると、

$$f''(x) = \frac{1}{1+\frac{1}{x}} \cdot \left( -\frac{1}{x^2} \right) + \frac{1}{(x+1)^2} = -\frac{1}{x(x+1)} + \frac{1}{(x+1)^2} = -\frac{1}{x(x+1)^2}$$

$x > 0$ であるから、$f''(x) < 0$ が成り立つ。 したがって、$f'(x)$ は単調に減少する。 ここで、$\lim_{x \to \infty} f'(x) = \log 1 - 0 = 0$ であるから、$x > 0$ において $f'(x) > 0$ が成り立つ。 よって、$f(x)$ は単調に増加する。 また、題意より $e = \lim_{x \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{x} \right)^x$ であり、$\lim_{x \to \infty} \log \left( 1 + \frac{1}{x} \right)^x = \log e = 1$ であるから、

$$\lim_{x \to \infty} f(x) = 1$$

ゆえに、$x > 0$ において $f(x) < 1$ が成り立つ。

右側の不等式の証明

$g(x) = \left( x + \frac{1}{2} \right) \log \left( 1 + \frac{1}{x} \right) = \left( x + \frac{1}{2} \right) \{ \log (x+1) - \log x \}$ とおく。 $x > 0$ においてこれを微分すると、

$$g'(x) = \log(x+1) - \log x + \left( x + \frac{1}{2} \right) \left( \frac{1}{x+1} - \frac{1}{x} \right) = \log \left( 1 + \frac{1}{x} \right) - \frac{2x+1}{2x(x+1)}$$

さらに微分すると、

$$\begin{aligned} g''(x) &= -\frac{1}{x(x+1)} - \frac{2 \cdot 2x(x+1) - (2x+1)(4x+2)}{4x^2(x+1)^2} \\ &= -\frac{1}{x(x+1)} - \frac{4x^2+4x - 2(2x+1)^2}{4x^2(x+1)^2} \\ &= -\frac{1}{x(x+1)} - \frac{4x^2+4x - 8x^2 - 8x - 2}{4x^2(x+1)^2} \\ &= -\frac{2x(x+1)}{2x^2(x+1)^2} + \frac{4x^2+4x+2}{4x^2(x+1)^2} \\ &= \frac{-4x^2-4x + 4x^2+4x+2}{4x^2(x+1)^2} \\ &= \frac{2}{4x^2(x+1)^2} \\ &= \frac{1}{2x^2(x+1)^2} \end{aligned}$$

$x > 0$ であるから、$g''(x) > 0$ が成り立つ。 したがって、$g'(x)$ は単調に増加する。 ここで、$\lim_{x \to \infty} g'(x) = \log 1 - 0 = 0$ であるから、$x > 0$ において $g'(x) < 0$ が成り立つ。 よって、$g(x)$ は単調に減少する。 また、

$$\begin{aligned} \lim_{x \to \infty} g(x) &= \lim_{x \to \infty} \left( x + \frac{1}{2} \right) \log \left( 1 + \frac{1}{x} \right) \\ &= \lim_{x \to \infty} \left\{ x \log \left( 1 + \frac{1}{x} \right) + \frac{1}{2} \log \left( 1 + \frac{1}{x} \right) \right\} \\ &= 1 + \frac{1}{2} \log 1 \\ &= 1 \end{aligned}$$

ゆえに、$x > 0$ において $g(x) > 1$ が成り立つ。

以上より、$x > 0$ に対し $f(x) < 1 < g(x)$ が示されたので、題意の不等式は成り立つ。

解説

累乗の形を含む不等式の証明における典型的な処理である。自然対数をとり、式全体を関数とみなして微分法により評価する方針が最も確実である。

1回の微分では導関数の符号が直ちには定まらないため、2階導関数まで求めて導関数の増減を調べ、さらに極限値（今回は $x \to \infty$）との比較によって符号を特定するという論理展開が重要である。極限における値が漸近的な上限または下限として機能することを利用する。

答え

与えられた不等式の各辺が正であることを確認し、自然対数をとった後の式を関数として設定した。

2階微分まで行うことで導関数の増減と極限値を調べ、元の関数の増減と漸近的な振る舞いから不等式が成り立つことを示した。