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数学3 接線・不等式問題 53 解説

方針・初手

関数 $f(x) = \sin^2 x$ について、定義域 $-\frac{\pi}{4} < x < \frac{\pi}{4}$ におけるグラフの形状（下に凸であること）を式として証明していく問題である。 (1) は、2点 $(a, \sin^2 a)$, $(b, \sin^2 b)$ を結ぶ線分の方程式と曲線 $y = \sin^2 x$ の差をとって関数を設定し、微積分を用いて増減を調べることで証明する。 (2) と (3) は、(1) で得られた不等式の $x$ に具体的な値を代入し、式変形を行うことで示せる誘導問題となっている。

解法1

(1)

$$g(x) = \frac{\sin^2 b - \sin^2 a}{b - a}(x - a) + \sin^2 a - \sin^2 x$$

とおく。関数 $g(x)$ を $x$ について微分すると、

$$g'(x) = \frac{\sin^2 b - \sin^2 a}{b - a} - 2\sin x \cos x = \frac{\sin^2 b - \sin^2 a}{b - a} - \sin 2x$$

さらに微分すると、

$$g''(x) = -2\cos 2x$$

となる。条件より $-\frac{\pi}{4} < a < x < b < \frac{\pi}{4}$ であるから、

$$-\frac{\pi}{2} < 2x < \frac{\pi}{2}$$

であり、この範囲において $\cos 2x > 0$ である。したがって、$g''(x) < 0$ となり、導関数 $g'(x)$ は区間 $(a, b)$ において単調に減少する。

ここで、$g(x)$ の定義より $g(a) = 0$ および $g(b) = 0$ である。区間 $[a, b]$ において $g(x)$ は連続、区間 $(a, b)$ で微分可能であるから、ロルの定理（または平均値の定理）より、

$$g'(c_0) = 0$$

を満たす実数 $c_0$ が $a < c_0 < b$ の範囲に存在する。 $g'(x)$ は単調減少であるから、

$a < x < c_0$ のとき $g'(x) > g'(c_0) = 0$ $c_0 < x < b$ のとき $g'(x) < g'(c_0) = 0$

が成り立つ。これより、$g(x)$ は区間 $[a, c_0]$ で単調増加し、区間 $[c_0, b]$ で単調減少することがわかる。両端において $g(a) = 0, g(b) = 0$ であるため、区間 $(a, b)$ において常に $g(x) > 0$ が成り立つ。すなわち、

$$0 < \frac{\sin^2 b - \sin^2 a}{b - a}(x - a) + \sin^2 a - \sin^2 x$$

$$\sin^2 x < \frac{\sin^2 b - \sin^2 a}{b - a}(x - a) + \sin^2 a$$

となり、題意の不等式は証明された。

(2)

$a < c < b$ であるから、(1) で示した不等式に $x = c$ を代入すると、

$$\sin^2 c < \frac{\sin^2 b - \sin^2 a}{b - a}(c - a) + \sin^2 a$$

移項して整理すると、

$$\sin^2 c - \sin^2 a < \frac{\sin^2 b - \sin^2 a}{b - a}(c - a)$$

$a < c$ より $c - a > 0$ であるから、両辺を $c - a$ で割ると、

$$\frac{\sin^2 c - \sin^2 a}{c - a} < \frac{\sin^2 b - \sin^2 a}{b - a} \quad \cdots \text{①}$$

となる。次に、(1) で証明した不等式の右辺を変形する。

$$\begin{aligned} \frac{\sin^2 b - \sin^2 a}{b - a}(x - a) + \sin^2 a &= \frac{\sin^2 b - \sin^2 a}{b - a}(x - b + b - a) + \sin^2 a \\ &= \frac{\sin^2 b - \sin^2 a}{b - a}(x - b) + \sin^2 b - \sin^2 a + \sin^2 a \\ &= \frac{\sin^2 b - \sin^2 a}{b - a}(x - b) + \sin^2 b \end{aligned}$$

したがって、(1) の不等式は次のように書き換えることができる。

$$\sin^2 x < \frac{\sin^2 b - \sin^2 a}{b - a}(x - b) + \sin^2 b$$

これに $x = c$ を代入し、移項すると、

$$\sin^2 c - \sin^2 b < \frac{\sin^2 b - \sin^2 a}{b - a}(c - b)$$

$c < b$ より $c - b < 0$ であるから、両辺を $c - b$ で割ると不等号の向きが変わる。

$$\frac{\sin^2 c - \sin^2 b}{c - b} > \frac{\sin^2 b - \sin^2 a}{b - a}$$

分母分子に $-1$ を掛けて整理すると、

$$\frac{\sin^2 b - \sin^2 a}{b - a} < \frac{\sin^2 b - \sin^2 c}{b - c} \quad \cdots \text{②}$$

① および ② より、

$$\frac{\sin^2 c - \sin^2 a}{c - a} < \frac{\sin^2 b - \sin^2 a}{b - a} < \frac{\sin^2 b - \sin^2 c}{b - c}$$

が成り立つことが証明された。

(3)

$0 < t < 1$ とし、$x = (1-t)a + tb$ とおく。これを変形すると、

$$x = a - ta + tb = a + t(b - a)$$

$0 < t < 1$ かつ $b - a > 0$ であるから、$0 < t(b - a) < b - a$ となる。したがって、各辺に $a$ を加えて $a < x < b$ であることがわかる。条件を満たすので、(1) の不等式に $x = (1-t)a + tb$ を代入することができる。ここで、$x - a = t(b - a)$ であるから、これを代入すると、

$$\begin{aligned} \sin^2 ((1-t)a + tb) &< \frac{\sin^2 b - \sin^2 a}{b - a} \cdot t(b - a) + \sin^2 a \\ &= t(\sin^2 b - \sin^2 a) + \sin^2 a \\ &= t\sin^2 b + (1-t)\sin^2 a \end{aligned}$$

したがって、

$$\sin^2((1-t)a + tb) < (1-t)\sin^2 a + t\sin^2 b$$

が成り立つことが証明された。

解説

本問は、関数 $y = \sin^2 x$ が区間 $\left(-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right)$ において「下に凸」であることを、様々な数式表現で確認させる良問である。 (1) の右辺は、2点 $(a, \sin^2 a)$ と $(b, \sin^2 b)$ を結ぶ線分（弦）の方程式であり、曲線がその弦の下側にあることを示している。 (2) は、下に凸な曲線上にとった3点の傾きを比較しており、右側の点どうしを結んだ弦ほど傾きが大きくなるという性質（平均変化率の単調増加性）を表している。(2) は平均値の定理を繰り返し用いて証明することも可能だが、(1) の結果をうまく式変形して利用する方が計算量も少なく論理の見通しが良い。 (3) は、凸関数の定義式そのものである。線分を $t : (1-t)$ に内分する点の $y$ 座標の大小関係を示しており、やはり (1) の不等式を利用することで容易に導くことができる。全体を通して、直前の小問を「どう利用するか」という視点を持つことが重要である。