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数学3 接線・不等式問題 58 解説

方針・初手

円に内接する正多角形の面積は、円の中心を頂点の一つとする合同な二等辺三角形に分割して計算する。中点を結んでできる新しい正多角形も同様に考えるか、元の図形との相似比を利用して面積比を求める。極限計算では $\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x}=1$ を用い、不等式の証明では $x>0$ における $\sin x < x$ と $\pi < 3.2$ などを活用して評価する。

解法1

(1)

単位円の中心を $\mathrm{O}$ とし、正 $n$ 角形の隣り合う $2$ つの頂点を $\mathrm{P}, \mathrm{Q}$ とすると、$\triangle\mathrm{OPQ}$ は $\mathrm{OP}=\mathrm{OQ}=1$、$\angle\mathrm{POQ}=\frac{2\pi}{n}$ の二等辺三角形である。その面積は、

$$\frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 \cdot \sin \frac{2\pi}{n} = \frac{1}{2} \sin \frac{2\pi}{n}$$

正 $n$ 角形はこのような合同な三角形 $n$ 個からなるため、

$$A_n = n \times \frac{1}{2} \sin \frac{2\pi}{n} = \frac{n}{2} \sin \frac{2\pi}{n}$$

(2)

線分 $\mathrm{PQ}$ の中点を $\mathrm{M}$ とすると、$\triangle\mathrm{OPM}$ は $\angle\mathrm{OMP}=\frac{\pi}{2}$ の直角三角形であり、$\angle\mathrm{POM}=\frac{\pi}{n}$ であるから、

$$\mathrm{OM} = \mathrm{OP} \cos \frac{\pi}{n} = \cos \frac{\pi}{n}$$

$B_n$ は、各辺の中点を結んでできる正 $n$ 角形の面積である。この新しい正 $n$ 角形は、中心が $\mathrm{O}$、各頂点が各辺の中点となるため、半径 $\mathrm{OM}$ の円に内接する正 $n$ 角形である。相似な図形の面積比は相似比の $2$ 乗に等しく、元の正 $n$ 角形と新しい正 $n$ 角形の相似比は $1 : \cos \frac{\pi}{n}$ であるから、面積比は $1 : \cos^2 \frac{\pi}{n}$ となる。したがって、

$$B_n = A_n \cos^2 \frac{\pi}{n} = \frac{n}{2} \sin \frac{2\pi}{n} \cos^2 \frac{\pi}{n}$$

(3)

$B_n$ の極限を求める。

$$\lim_{n \to \infty} B_n = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{n}{2} \sin \frac{2\pi}{n} \cos^2 \frac{\pi}{n} \right)$$

$$= \lim_{n \to \infty} \left( \pi \cdot \frac{\sin \frac{2\pi}{n}}{\frac{2\pi}{n}} \cdot \cos^2 \frac{\pi}{n} \right)$$

ここで、$n \to \infty$ のとき $\frac{2\pi}{n} \to 0$、$\frac{\pi}{n} \to 0$ であり、$\lim_{\theta \to 0} \frac{\sin \theta}{\theta} = 1$ を用いると、

$$\lim_{n \to \infty} B_n = \pi \cdot 1 \cdot 1^2 = \pi$$

(4)

(1), (2) より、

$$\frac{B_n}{A_n} = \cos^2 \frac{\pi}{n} = 1 - \sin^2 \frac{\pi}{n}$$

$x > 0$ において $\sin x < x$ が成り立つ。$n \geqq 3$ より $\frac{\pi}{n} > 0$ であるから、

$$0 < \sin \frac{\pi}{n} < \frac{\pi}{n}$$

$n \geqq 32$ のとき、

$$\frac{\pi}{n} \leqq \frac{\pi}{32}$$

$\pi < 3.2$ であるから、

$$\frac{\pi}{32} < \frac{3.2}{32} = \frac{1}{10}$$

よって、

$$0 < \sin \frac{\pi}{n} < \frac{1}{10}$$

各辺を $2$ 乗して、

$$\sin^2 \frac{\pi}{n} < \frac{1}{100}$$

したがって、

$$\frac{B_n}{A_n} = 1 - \sin^2 \frac{\pi}{n} > 1 - \frac{1}{100} = \frac{99}{100}$$

以上より、$n \geqq 32$ のとき、不等式 $\frac{B_n}{A_n} > \frac{99}{100}$ が成り立つことが示された。

解法2

(2) を相似比を用いずに直接求める別解を挙げる。

(2)

線分 $\mathrm{PQ}$ の中点を $\mathrm{M_1}$、これに隣り合う辺の中点を $\mathrm{M_2}$ とし、元の正 $n$ 角形の対応する中心角を $\angle\mathrm{M_1 O M_2} = \frac{2\pi}{n}$ とする。 $\mathrm{OM_1} = \mathrm{OM_2} = \cos \frac{\pi}{n}$ であるから、$\triangle\mathrm{OM_1 M_2}$ の面積は、

$$\frac{1}{2} \cdot \mathrm{OM_1} \cdot \mathrm{OM_2} \cdot \sin \frac{2\pi}{n} = \frac{1}{2} \cos^2 \frac{\pi}{n} \sin \frac{2\pi}{n}$$

新しい正 $n$ 角形はこのような合同な三角形 $n$ 個からなるため、

$$B_n = n \times \frac{1}{2} \cos^2 \frac{\pi}{n} \sin \frac{2\pi}{n} = \frac{n}{2} \sin \frac{2\pi}{n} \cos^2 \frac{\pi}{n}$$

解説

正多角形に関する極限の基本問題である。円に内接する正多角形の面積の極限が円の面積 $\pi$ に一致することは直感的にも理解しやすいが、式変形において $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ を用いて厳密に導出できるかを問われている。 (4) の不等式評価では、$\frac{B_n}{A_n} = \cos^2 \frac{\pi}{n}$ まで求めた後、$x > 0$ における有名不等式 $\sin x < x$ と、円周率の近似 $\pi < 3.2$ などを組み合わせることで、鮮やかに評価を完了させることができる。