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数学3 接線・不等式問題 62 解説

方針・初手

関数 $h(x)$ が区間 $[0, 1]$ で減少することを示すためには、区間 $[0, 1]$ 内から任意に選んだ2つの実数 $x_1, x_2 \ (x_1 < x_2)$ について、$h(x_1) > h(x_2)$ が成り立つことを示せばよい。この任意の2点を両端とする区間 $[x_1, x_2]$ に対して平均値の定理を適用し、$h'(x) < 0$ の条件を用いる。

解法1

閉区間 $[0, 1]$ に属する任意の2つの実数 $x_1, x_2$ を、$x_1 < x_2$ を満たすようにとる。

関数 $h(x)$ は閉区間 $[0, 1]$ で連続、開区間 $(0, 1)$ で微分可能である。 $0 \le x_1 < x_2 \le 1$ であるから、関数 $h(x)$ はその部分区間である閉区間 $[x_1, x_2]$ においても連続であり、開区間 $(x_1, x_2)$ においても微分可能である。

したがって、区間 $[x_1, x_2]$ において関数 $h(x)$ に平均値の定理を適用すると、

$$\frac{h(x_2) - h(x_1)}{x_2 - x_1} = h'(c)$$

$$x_1 < c < x_2$$

を満たす実数 $c$ が存在する。

ここで、$0 \le x_1 < c < x_2 \le 1$ であるから、$0 < c < 1$ すなわち $c$ は開区間 $(0, 1)$ に属する。仮定より、開区間 $(0, 1)$ において常に $h'(x) < 0$ であるから、

$$h'(c) < 0$$

が成り立つ。ゆえに、

$$\frac{h(x_2) - h(x_1)}{x_2 - x_1} < 0$$

となる。

$x_1 < x_2$ より $x_2 - x_1 > 0$ であるから、両辺に $x_2 - x_1$ を掛けると、

$$h(x_2) - h(x_1) < 0$$

すなわち、

$$h(x_1) > h(x_2)$$

が得られる。

これは、閉区間 $[0, 1]$ 内の任意の $x_1, x_2 \ (x_1 < x_2)$ に対して $h(x_1) > h(x_2)$ が成り立つことを示している。以上より、$h(x)$ は区間 $[0, 1]$ で減少することが証明された。

解説

導関数の符号と関数の増減の関係（$f'(x)<0$ ならば単調減少）という、普段当たり前のように使っている事実を証明する問題である。証明の核となるのは平均値の定理の適切な利用である。平均値の定理を用いる際は、適用する区間（今回は任意にとった $[x_1, x_2]$）を明確にし、その区間において「閉区間で連続」「開区間で微分可能」という定理の前提条件が満たされていることを必ず宣言しなければならない。