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数学3 合成関数問題 3 解説

方針・初手

与えられた関数 $f(x)$ と $g(x)$ の式に従って、合成関数および逆関数の計算を順に行う。合成関数は内側の関数の式を外側の関数の変数に代入して計算し、逆関数は $y=f(x)$ を $x$ について解くことで求める。

解法1

与えられた関数は以下の通りである。

$$f(x) = x + 1$$

$$g(x) = \frac{1}{x}$$

[ア] について

$f(x)$ の $x$ に $f(x)$ 自身を代入して計算する。

$$\begin{aligned} f(f(x)) &= f(x + 1) \\ &= (x + 1) + 1 \\ &= x + 2 \end{aligned}$$

[イ] について

$f(x)$ の $x$ に $g(x)$ を代入して計算する。

$$\begin{aligned} f(g(x)) &= f\left(\frac{1}{x}\right) \\ &= \frac{1}{x} + 1 \\ &= \frac{x + 1}{x} \end{aligned}$$

[ウ] について

まず、$f(x)$ の逆関数 $f^{-1}(x)$ を求める。 $y = f(x)$ とおくと、

$$y = x + 1$$

これを $x$ について解くと、

$$x = y - 1$$

$x$ と $y$ を入れ替えて、逆関数は以下のようになる。

$$f^{-1}(x) = x - 1$$

したがって、求める合成関数は $g(x)$ の $x$ に $f^{-1}(x)$ を代入して、

$$\begin{aligned} g(f^{-1}(x)) &= g(x - 1) \\ &= \frac{1}{x - 1} \end{aligned}$$

解説

合成関数と逆関数の定義に基づいた基本的な計算問題である。合成関数 $f(g(x))$ は、関数 $g$ による値 $g(x)$ を、関数 $f$ の引数として代入することで求められる。計算順序を間違えないように注意が必要である。また、関数 $y = f(x)$ の逆関数 $f^{-1}(x)$ は、もとの式を $x$ について解き、最後に変数 $x$ と $y$ を交換するという手順を踏むことで確実に求めることができる。