数学3 合成関数 問題 4 解説

方針・初手

関数 $f(x)$ の式に再び $f(x)$ 自身を代入して $f(f(x))$ を計算する。そのまま代入するよりも、まず $f(x)$ を通分して分数の形を整理しておくと、合成関数の計算が見通しよく行える。後半の方程式は、求めた $f(f(x))$ の結果を利用して解く。

解法1

与えられた関数は、次のように変形できる。

$$f(x) = 1 + \frac{1}{x-1} = \frac{(x-1) + 1}{x-1} = \frac{x}{x-1}$$

$x \neq 1$ のとき、$f(x) = 1$ となることはないため、$f(f(x))$ は常に定義される。 $f(f(x))$ に上の式を代入して計算すると、以下のようになる。

$$\begin{aligned} f(f(x)) &= f\left( \frac{x}{x-1} \right) \\ &= \frac{\frac{x}{x-1}}{\frac{x}{x-1} - 1} \\ &= \frac{\frac{x}{x-1}}{\frac{x - (x-1)}{x-1}} \\ &= \frac{\frac{x}{x-1}}{\frac{1}{x-1}} \\ &= x \end{aligned}$$

次に、方程式 $f(f(x)) = f(x)$ を解く。 上で求めた $f(f(x)) = x$ を左辺に代入すると、方程式は次のように書き換えられる。

$$x = 1 + \frac{1}{x-1}$$

$x \neq 1$ より、両辺に $x - 1$ を掛けて整理する。

$$\begin{aligned} x(x - 1) &= (x - 1) + 1 \\ x^2 - x &= x \\ x^2 - 2x &= 0 \\ x(x - 2) &= 0 \end{aligned}$$

これを解くと、$x = 0, 2$ となる。 これらはともに $x \neq 1$ の条件を満たしている。

解説

分数関数の合成関数を求める典型的な計算問題である。そのまま $f(x) = 1 + \frac{1}{f(x)-1}$ に代入して計算することも可能だが、$f(x) = \frac{x}{x-1}$ と変形してから代入した方が、繁分数の処理がシンプルになり計算ミスを防ぎやすい。

また、計算結果の $f(f(x)) = x$ は、関数 $f(x)$ の逆関数が $f(x)$ 自身に一致する（すなわち $f^{-1}(x) = f(x)$）ことを意味している。

後半の方程式を解く際は、分母を払う変形を行うため、求まった解が前提条件である「分母が $0$ にならないこと（$x \neq 1$）」を満たしているかの確認を忘れないようにする。

答え

$f(f(x)) = x$

$x = 0, 2$