数学3 逆関数 問題 3 解説

方針・初手

(1) 関数 $f(x)$ は絶対値記号を含むため、絶対値の中の式の符号によって場合分けをして絶対値を外します。各区間において $y=f(x)$ を $x$ について解き、$x$ と $y$ を入れ替えることで逆関数 $g(x)$ を求めます。逆関数の定義域は、元の関数の値域と一致することに注意します。

(2) 与えられた不等式は両辺に絶対値を含みますが、全体が正または $0$ であるため、両辺を2乗して同値変形するのが効果的です。$A^2 \leqq B^2 \iff (A+B)(A-B) \leqq 0$ の関係を用いることで、絶対値を外して因数分解された形に持ち込むことができます。

解法1

(1)

$f(x) = -3x + |2x - 4| + 8$ について、絶対値の中の式 $2x-4$ の符号で場合分けをする。

(i) $2x - 4 \geqq 0$ すなわち $x \geqq 2$ のとき

$$f(x) = -3x + (2x - 4) + 8 = -x + 4$$

$x \geqq 2$ であるから、この区間における $f(x)$ の値域は $f(x) \leqq 2$ である。 $y = -x + 4$ とおき、$x$ について解くと

$$x = -y + 4$$

$x$ と $y$ を入れ替えて、この区間における逆関数は $y = -x + 4 \quad (x \leqq 2)$ となる。

(ii) $2x - 4 < 0$ すなわち $x < 2$ のとき

$$f(x) = -3x - (2x - 4) + 8 = -5x + 12$$

$x < 2$ であるから、この区間における $f(x)$ の値域は $f(x) > 2$ である。 $y = -5x + 12$ とおき、$x$ について解くと

$$x = -\frac{1}{5}y + \frac{12}{5}$$

$x$ と $y$ を入れ替えて、この区間における逆関数は $y = -\frac{1}{5}x + \frac{12}{5} \quad (x > 2)$ となる。

以上より、逆関数 $g(x)$ は

$$g(x) = \begin{cases} -x + 4 & (x \leqq 2) \\ -\frac{1}{5}x + \frac{12}{5} & (x > 2) \end{cases}$$

(2)

与えられた不等式は以下の通りである。

$$|2y + f(x) + g(x)| \leqq |f(x) - g(x)|$$

両辺はともに $0$ 以上であるから、両辺を2乗しても同値である。

$$(2y + f(x) + g(x))^2 \leqq (f(x) - g(x))^2$$

移項して和と差の積の公式 $A^2 - B^2 = (A+B)(A-B)$ を用いて因数分解する。

$$(2y + f(x) + g(x))^2 - (f(x) - g(x))^2 \leqq 0$$

$$\left\{ (2y + f(x) + g(x)) + (f(x) - g(x)) \right\} \left\{ (2y + f(x) + g(x)) - (f(x) - g(x)) \right\} \leqq 0$$

$$(2y + 2f(x))(2y + 2g(x)) \leqq 0$$

両辺を $4$ で割って

$$(y + f(x))(y + g(x)) \leqq 0$$

この不等式が成り立つための条件は、以下の (ア) または (イ) が成り立つことである。

(ア) $y + f(x) \geqq 0$ かつ $y + g(x) \leqq 0$ すなわち、$-f(x) \leqq y \leqq -g(x)$

(イ) $y + f(x) \leqq 0$ かつ $y + g(x) \geqq 0$ すなわち、$-g(x) \leqq y \leqq -f(x)$

ここで、(1) で求めた $f(x), g(x)$ より、$-f(x)$ および $-g(x)$ は次のように表される。

$$-f(x) = \begin{cases} x - 4 & (x \geqq 2) \\ 5x - 12 & (x < 2) \end{cases}$$

$$-g(x) = \begin{cases} x - 4 & (x \leqq 2) \\ \frac{1}{5}x - \frac{12}{5} & (x > 2) \end{cases}$$

これらを用いて $x \geqq 2$ と $x < 2$ の場合で $-f(x)$ と $-g(x)$ の大小関係を比較する。

$x \geqq 2$ のとき $(-f(x)) - (-g(x)) = (x - 4) - \left( \frac{1}{5}x - \frac{12}{5} \right) = \frac{4}{5}(x - 2) \geqq 0$ よって、$-f(x) \geqq -g(x)$ であるから、条件を満たすのは (イ) の場合であり、領域を表す不等式は

$$\frac{1}{5}x - \frac{12}{5} \leqq y \leqq x - 4$$

$x < 2$ のとき $(-f(x)) - (-g(x)) = (5x - 12) - (x - 4) = 4(x - 2) < 0$ よって、$-f(x) < -g(x)$ であるから、条件を満たすのは (ア) の場合であり、領域を表す不等式は

$$5x - 12 \leqq y \leqq x - 4$$

したがって、求める領域は 直線 $y = x - 4$ の下側（境界を含む）にあり、かつ、 $x \geqq 2$ において直線 $y = \frac{1}{5}x - \frac{12}{5}$ の上側（境界を含む）、 $x < 2$ において直線 $y = 5x - 12$ の上側（境界を含む） となる。

解説

(1) は絶対値を含む関数の逆関数を求める基本的な問題です。絶対値を外す際の場合分けの境界となる $x=2$ を境に、得られる逆関数の定義域も分かれることに注意して丁寧に計算する必要があります。

(2) は絶対値を含む不等式の表す領域を図示する問題です。両辺の絶対値をそのまま外そうとすると場合分けが非常に複雑になりますが、「両辺を2乗して差をとる」という工夫により $(y+f(x))(y+g(x)) \leqq 0$ と極めてシンプルな形に帰着させることができます。その後は $y = -f(x)$ と $y = -g(x)$ のグラフの上下関係を各区間で調べることで、領域を正確に特定できます。

答え

(1)

$$g(x) = \begin{cases} -x + 4 & (x \leqq 2) \\ -\frac{1}{5}x + \frac{12}{5} & (x > 2) \end{cases}$$

(2) 求める領域は、以下の連立不等式が表す領域である。

$$\begin{cases} y \leqq x - 4 \\ y \geqq 5x - 12 & (x < 2) \\ y \geqq \frac{1}{5}x - \frac{12}{5} & (x \geqq 2) \end{cases}$$

図示すると、点 $(2, -2)$ で交わる直線 $y=x-4$ と折れ線 $y = \begin{cases} 5x - 12 & (x < 2) \\ \frac{1}{5}x - \frac{12}{5} & (x \geqq 2) \end{cases}$ に挟まれた領域となる。境界線を含む。