数学3 逆関数 問題 4 解説

方針・初手

関数 $y = f(x)$ の逆関数を求めるため、まずは与えられた式を $x$ について解くことを目標とする。対数の定義を用いて指数を用いた形に変形し、$x = g(y)$ の形を導出してから、$x$ と $y$ を入れ替える。

解法1

与えられた関数を $y = \log_2 (3x + 4)$ とおく。

対数の真数は正であるから、真数条件より $3x + 4 > 0$、すなわち定義域は $x > -\frac{4}{3}$ である。このとき、値域は実数全体となる。

$y = \log_2 (3x + 4)$ を $x$ について解く。対数の定義より、

$$3x + 4 = 2^y$$

となる。これを $x$ について整理すると、

$$3x = 2^y - 4$$

$$x = \frac{2^y - 4}{3}$$

を得る。

ここで、$x$ と $y$ を入れ替えることで逆関数となるので、

$$y = \frac{2^x - 4}{3}$$

したがって、求める逆関数 $f^{-1}(x)$ は以下の通りとなる。

$$f^{-1}(x) = \frac{2^x - 4}{3}$$

解説

逆関数を求める基本的な手順を確認する問題である。

関数 $y = f(x)$ の逆関数を求める際は、以下の手順を踏むのが定石である。

1. $y = f(x)$ を $x$ について解き、$x = g(y)$ の形にする。
2. $x$ と $y$ を入れ替えて、$y = g(x)$ とする。

本問では、対数関数 $y = \log_a X \iff X = a^y$ という基本的な関係式を用いて、$x$ について解く処理を正確に行えるかが問われている。なお、もとの関数 $f(x)$ の定義域は逆関数 $f^{-1}(x)$ の値域に、もとの関数 $f(x)$ の値域は逆関数 $f^{-1}(x)$ の定義域にそれぞれ対応する。本問では特に定義域を明示するように求められてはいないが、関数を扱う上での基本として意識しておきたい。

答え

$$f^{-1}(x) = \frac{2^x - 4}{3}$$