数学3 無理関数 問題 2 解説

方針・初手

無理不等式 $\sqrt{A} > B$ を解く問題です。根号の中身が $0$ 以上であるという定義域の条件を確認したうえで、右辺の正負によって場合分けをして解を進めるのが基本方針です。また、両辺をそれぞれ関数とみなし、グラフの上下関係から視覚的に解くアプローチも有効です。

解法1

根号の中身は $0$ 以上でなければならないため、

$$3x+4 \ge 0 \iff x \ge -\frac{4}{3}$$

が前提条件となる。

右辺 $4x-2$ の正負で場合分けを行う。

(i) $4x-2 < 0$ すなわち $x < \frac{1}{2}$ のとき

前提条件と合わせると、$-\frac{4}{3} \le x < \frac{1}{2}$ である。 この範囲において、左辺 $\sqrt{3x+4} \ge 0$、右辺 $4x-2 < 0$ となり、（左辺）$>$（右辺）は常に成り立つ。

(ii) $4x-2 \ge 0$ すなわち $x \ge \frac{1}{2}$ のとき

このとき、不等式の両辺はともに $0$ 以上であるから、両辺を $2$ 乗しても同値である。

$$3x+4 > (4x-2)^2$$

展開して整理すると、

$$3x+4 > 16x^2 - 16x + 4$$

$$16x^2 - 19x < 0$$

$$x(16x-19) < 0$$

これを解いて、

$$0 < x < \frac{19}{16}$$

場合分けの条件 $x \ge \frac{1}{2}$ との共通範囲をとって、

$$\frac{1}{2} \le x < \frac{19}{16}$$

(i), (ii) より、求める解は $-\frac{4}{3} \le x < \frac{1}{2}$ または $\frac{1}{2} \le x < \frac{19}{16}$ であるから、これらを合わせて、

$$-\frac{4}{3} \le x < \frac{19}{16}$$

解法2

関数 $y = \sqrt{3x+4}$ と $y = 4x-2$ のグラフを考える。

$y = \sqrt{3x+4}$ の定義域は $x \ge -\frac{4}{3}$ であり、グラフは点 $\left(-\frac{4}{3}, 0\right)$ を始点とし、右上がりに増加する無理関数のグラフである。

まず、これら $2$ つのグラフの交点の $x$ 座標を求めるため、方程式 $\sqrt{3x+4} = 4x-2$ を解く。 左辺は $0$ 以上であるから、右辺も $0$ 以上でなければならず、$x \ge \frac{1}{2}$ が必要である。 この条件のもとで両辺を $2$ 乗すると、

$$3x+4 = 16x^2 - 16x + 4$$

$$16x^2 - 19x = 0$$

$$x(16x-19) = 0$$

$x \ge \frac{1}{2}$ より、$x = 0$ は不適であり、交点の $x$ 座標は $x = \frac{19}{16}$ のみとなる。

与えられた不等式 $\sqrt{3x+4} > 4x-2$ の解は、$y = \sqrt{3x+4}$ のグラフが直線 $y = 4x-2$ よりも上側（$y$ 座標が大きい）にあるような $x$ の範囲である。 グラフの形状から、無理関数の始点から交点の直前までが条件を満たす区間となる。

したがって、求める範囲は、

$$-\frac{4}{3} \le x < \frac{19}{16}$$

解説

無理不等式 $\sqrt{A} > B$ は、右辺が負のときに両辺を $2$ 乗すると不等号の向きや同値性が崩れてしまうため、右辺の正負による場合分けが必須です。「（左辺）$\ge 0$ かつ（右辺）$< 0$ ならば常に成立する」という論理を見落としやすいため注意しましょう。

また、グラフを利用する解法は、場合分けの煩雑さを回避できるため非常に実用的です。ただし、方程式を解いて交点を求める際に、両辺を $2$ 乗することで生じる「無縁解」（今回の $x=0$）を、グラフの形状や条件 $x \ge \frac{1}{2}$ から正しく除外する必要があります。

答え

$$-\frac{4}{3} \le x < \frac{19}{16}$$