数学3 無理関数 問題 4 解説

方針・初手

与えられた無理関数 $y = \sqrt{a - 4x} + b$ の増減を調べる。根号の中身の $x$ の係数が負であることから、この関数が単調減少することに気づくのが初手である。定義域の両端において最大値と最小値をとることを利用し、$a$ と $b$ の連立方程式を立てる。

解法1

関数 $y = \sqrt{a - 4x} + b$ について、$x$ が増加すると根号の中身 $a - 4x$ は減少する。 したがって、この関数は $x$ について単調減少する関数である。

定義域が $-4 \leqq x \leqq 0$ であるから、この関数は $x = -4$ のときに最大値、$x = 0$ のときに最小値をとる。 問題の条件より、最大値が $5$、最小値が $3$ であるから、以下の連立方程式が成り立つ。

$$\begin{cases} \sqrt{a - 4(-4)} + b = 5 \\ \sqrt{a - 4(0)} + b = 3 \end{cases}$$

すなわち、

$$\begin{cases} \sqrt{a + 16} + b = 5 & \cdots \text{①} \\ \sqrt{a} + b = 3 & \cdots \text{②} \end{cases}$$

① $-$ ② より $b$ を消去すると、

$$\sqrt{a + 16} - \sqrt{a} = 2$$

移項して、

$$\sqrt{a + 16} = \sqrt{a} + 2$$

両辺を2乗して整理する。

$$a + 16 = a + 4\sqrt{a} + 4$$

$$12 = 4\sqrt{a}$$

$$\sqrt{a} = 3$$

両辺を2乗して、

$$a = 9$$

これは条件 $a > 0$ を満たす。また、このとき定義域 $-4 \leqq x \leqq 0$ において、根号の中身は $a - 4x = 9 - 4x \geqq 9 > 0$ となり、常に関数は実数として定義される。

$a = 9$ を②に代入すると、

$$\sqrt{9} + b = 3$$

$$3 + b = 3$$

$$b = 0$$

以上より、$a = 9, b = 0$ と求まる。

解説

無理関数の概形と増減を正しく把握できるかが問われている基本問題である。 一般に $y = \sqrt{px + q}$ の形の関数は、$p > 0$ ならば単調増加、$p < 0$ ならば単調減少となる。本問では $x$ の係数が $-4 < 0$ であるため、単調減少関数であることがすぐに分かり、定義域の左端で最大、右端で最小となることが確定する。 また、無理方程式を解く際に両辺を2乗する操作が含まれるため、求まった値が元の条件（$a > 0$ や根号の中身が非負であること）を満たしているかの確認を忘れないようにしたい。

答え

$a = 9, b = 0$

（ア：9，イ：0）