数学3 無理関数 問題 6 解説

方針・初手

無理不等式 $\sqrt{A} < B$ の解法パターンに従う。根号の中身が非負であるという定義域の条件と、左辺が $0$ 以上であることから右辺も正でなければならないという条件をまず確認する。その後、両辺がともに非負である範囲で両辺を2乗して不等式を解く。無理関数のグラフと直線の上下関係を利用して視覚的に解くことも有効である。

解法1

与えられた不等式は以下の通りである。

$$\sqrt{3-x} < x+1$$

根号の中身は $0$ 以上でなければならないため、実数条件より以下の不等式が成り立つ。

$$3-x \ge 0$$

これを解いて以下の条件を得る。

$$x \le 3 \quad \cdots \text{①}$$

また、不等式の左辺は $\sqrt{3-x} \ge 0$ であるため、不等式が成り立つためには右辺も正でなければならない。したがって以下の条件が必要である。

$$x+1 > 0$$

これを解いて以下の条件を得る。

$$x > -1 \quad \cdots \text{②}$$

①および②の共通範囲は以下の通りである。

$$-1 < x \le 3 \quad \cdots \text{③}$$

この条件③のもとでは、与式の両辺はともに非負であるため、両辺を2乗しても同値性が保たれる。

$$3-x < (x+1)^2$$

展開して整理する。

$$3-x < x^2 + 2x + 1$$

$$x^2 + 3x - 2 > 0$$

方程式 $x^2 + 3x - 2 = 0$ の解は、解の公式より以下のようになる。

$$x = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2)}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{17}}{2}$$

したがって、2次不等式 $x^2 + 3x - 2 > 0$ の解は以下のようになる。

$$x < \frac{-3 - \sqrt{17}}{2}, \quad \frac{-3 + \sqrt{17}}{2} < x \quad \cdots \text{④}$$

ここで、求める解は条件③と④の共通範囲である。 $\sqrt{16} < \sqrt{17} < \sqrt{25}$ より $4 < \sqrt{17} < 5$ であるから、それぞれの値の大きさを評価する。

$$\frac{-3 - \sqrt{17}}{2} < \frac{-3 - 4}{2} = -3.5 < -1$$

$$\frac{1}{2} = \frac{-3 + 4}{2} < \frac{-3 + \sqrt{17}}{2} < \frac{-3 + 5}{2} = 1$$

したがって、$\frac{-3 + \sqrt{17}}{2}$ は区間 $-1 < x \le 3$ に含まれる。 以上より、③と④の共通範囲を求めて以下の解を得る。

$$\frac{-3 + \sqrt{17}}{2} < x \le 3$$

解法2

関数 $y = \sqrt{3-x}$ のグラフと直線 $y = x+1$ のグラフの上下関係を利用する。 $y = \sqrt{3-x}$ は、定義域が $x \le 3$、値域が $y \ge 0$ であり、頂点 $(3, 0)$ を持つ無理関数である。

2つのグラフの交点の $x$ 座標を求める。$y \ge 0$ より $x+1 \ge 0$ すなわち $x \ge -1$ の範囲で、以下の方程式を解く。

$$\sqrt{3-x} = x+1$$

両辺を2乗して整理する。

$$3-x = x^2 + 2x + 1$$

$$x^2 + 3x - 2 = 0$$

これを解くと以下のようになる。

$$x = \frac{-3 \pm \sqrt{17}}{2}$$

$x \ge -1$ の条件を満たす交点の $x$ 座標は $x = \frac{-3 + \sqrt{17}}{2}$ のみである。

不等式 $\sqrt{3-x} < x+1$ の解は、$y = \sqrt{3-x}$ のグラフが $y = x+1$ のグラフより下側にあるような $x$ の範囲である。 グラフの形状と交点の位置関係から、直線が上側にあるのは、交点から無理関数の定義域の右端までの区間である。

したがって、求める範囲は以下のようになる。

$$\frac{-3 + \sqrt{17}}{2} < x \le 3$$

解説

無理不等式 $\sqrt{A} < B$ の典型的な解法を問う問題である。両辺を安易に2乗して $A < B^2$ とするだけでは誤りとなる。必ず以下の2点に注意して同値変形を行う必要がある。

1. 根号内の非負条件：$A \ge 0$
2. 右辺の符号による条件：左辺 $\sqrt{A} \ge 0$ より、不等式が成り立つためには $B > 0$ が必須となる。

これらを合わせた条件 $A \ge 0$ かつ $B > 0$ のもとで初めて、両辺の2乗による同値変形 $A < B^2$ が可能になる。また、解法2のようにグラフを描いて視覚的に条件や交点を確認する方法も、条件の漏れや不要な解の混入を防ぐうえで非常に有効である。

答え

$$\frac{-3 + \sqrt{17}}{2} < x \le 3$$