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数学3 分数関数問題 3 解説

方針・初手

分数関数 $y = \frac{ax+b}{cx+d}$ のグラフの漸近線を求めるため、分子を分母で割り、式を $y = \frac{k}{x-p} + q$ の形（基本形）に変形する。この形になれば、漸近線の方程式は $x=p, y=q$ とただちにわかる。

解法1

与えられた関数は以下のように変形できる。

$$\begin{aligned} y &= \frac{-4x + 6}{2x - 5} \\ &= \frac{-2(2x - 5) - 10 + 6}{2x - 5} \\ &= \frac{-2(2x - 5) - 4}{2x - 5} \\ &= \frac{-4}{2x - 5} - 2 \\ &= \frac{-2}{x - \frac{5}{2}} - 2 \end{aligned}$$

この式は、基本となる関数 $y = \frac{-2}{x}$ のグラフを、$x$ 軸方向に $\frac{5}{2}$、$y$ 軸方向に $-2$ だけ平行移動したものである。

したがって、求める漸近線の方程式は $x = \frac{5}{2}, y = -2$ となる。

解説

分数関数 $y = \frac{ax+b}{cx+d}$ のグラフは、直角双曲線となる。漸近線を求めるには、分子の次数を分母の次数より低くする変形（割り算）を行うのが基本である。

また、式変形を行わずとも、一般に $y = \frac{ax+b}{cx+d}$ の漸近線は、分母が $0$ になる $x$ の値すなわち $x = -\frac{d}{c}$ と、$x \to \pm\infty$ としたときの極限値から得られる $y = \frac{a}{c}$ になるという事実を知っていれば、答えの検算が容易にできる。本問の場合、$x = \frac{5}{2}$、および $y = \frac{-4}{2} = -2$ となり、式変形の結果と一致する。