数学A 平面図形 問題 8 解説

方針・初手

与えられた角はすべて等しいので、正三角形の各頂角 $60^\circ$ が $20^\circ$ ずつに分けられていると見る。

そのうえで、正三角形の対称性を使う。$120^\circ$ 回転で $R \to P \to Q \to R$ となることを示せば、$PQR$ は正三角形になる。また、頂点 $A$ からの対称軸に関する反転で $R$ と $Q$ が対応することを示せば、$RQ \parallel BC$ が従う。

解法1

共通する角を $\theta$ とする。点 $P,Q,R$ は正三角形 $ABC$ の内部にあるので、例えば頂点 $A$ において

$$ \angle BAR+\angle RAQ+\angle QAC=\angle BAC=60^\circ $$

である。したがって

$$ 3\theta=60^\circ $$

より、

$$ \theta=20^\circ $$

である。

よって、各頂点から出る対応する半直線は、それぞれ頂角 $60^\circ$ を $20^\circ$ ずつに分ける半直線である。特に、頂点 $C$ においても

$$ \angle PCB =60^\circ-\angle ACQ-\angle QCP =60^\circ-20^\circ-20^\circ =20^\circ $$

である。

正三角形 $ABC$ の中心を $O$ とし、$A\to B,\ B\to C,\ C\to A$ と移す $120^\circ$ 回転を $\rho$ とする。

この回転により、頂点 $A$ から辺 $AB$ に対して内側に $20^\circ$ 傾いた半直線 $AR$ は、頂点 $B$ から辺 $BC$ に対して内側に $20^\circ$ 傾いた半直線 $BP$ に移る。

また、頂点 $B$ から辺 $BA$ に対して内側に $20^\circ$ 傾いた半直線 $BR$ は、頂点 $C$ から辺 $CB$ に対して内側に $20^\circ$ 傾いた半直線 $CP$ に移る。

したがって、$R$ は $AR$ と $BR$ の交点であるから、その像 $\rho(R)$ は $BP$ と $CP$ の交点である。これは $P$ である。よって

$$ \rho(R)=P $$

である。

同様に、$P$ は $BP$ と $CP$ の交点であり、これらは回転によってそれぞれ $CQ$ と $AQ$ に移る。したがって

$$ \rho(P)=Q $$

である。

さらに

$$ \rho(Q)=R $$

も同様に従う。

回転は距離を保つ変換であるから、

$$ PR=\rho(PR)=QP $$

であり、また

$$ RQ=\rho(RQ)=PR $$

である。したがって

$$ PR=RQ=QP $$

が成り立つ。

次に、$RQ\parallel BC$ を示す。

正三角形 $ABC$ において、頂点 $A$ から辺 $BC$ への中線を対称軸とする反転を考える。この反転は $B$ と $C$ を入れ替え、辺 $AB$ と $AC$ を入れ替える。

この反転により、半直線 $AR$ は半直線 $AQ$ に移る。実際、$AR$ は $AB$ から内側へ $20^\circ$、$AQ$ は $AC$ から内側へ $20^\circ$ の半直線である。

また、半直線 $BR$ は半直線 $CQ$ に移る。したがって、$R$ は $AR$ と $BR$ の交点であるから、その反転像は $AQ$ と $CQ$ の交点、すなわち $Q$ である。

よって $R$ と $Q$ は、頂点 $A$ から辺 $BC$ への中線に関して対称である。したがって線分 $RQ$ はこの対称軸に垂直である。

一方、正三角形では、頂点 $A$ から辺 $BC$ への中線は $BC$ に垂直である。よって、ともに同じ直線に垂直な $RQ$ と $BC$ は平行である。

したがって

$$ RQ\parallel BC $$

である。

解説

この問題の本質は、角度計算そのものではなく、正三角形の対称性を正しく使うことである。

まず、与えられた等しい角はすべて $20^\circ$ である。すると、$P,Q,R$ は各頂点から出る三等分線どうしの交点として決まる。ここまでくれば、図形全体は $120^\circ$ 回転で

$$ R\to P\to Q\to R $$

と移り合う。

したがって、$P,Q,R$ は同じ回転で巡回する3点となり、$PR=RQ=QP$ が従う。

また、$R$ と $Q$ は頂点 $A$ からの対称軸に関して対称な位置にあるので、$RQ$ はその対称軸に垂直である。正三角形ではその対称軸が $BC$ に垂直であるため、$RQ\parallel BC$ となる。

答え

(1)

$$ PR=RQ=QP $$

である。

(2)

$$ RQ\parallel BC $$

である。