数学A 平面図形 問題 9 解説

方針・初手

点 $P$ から円に引いた2本の割線 $PAD$ と $PCB$ に対して、方べきの定理を用いる。これによりまず $PC$ が決まる。

その後、$EF \parallel BD$ を利用して、$F,E$ の位置を $BD$ の長さに対する比で表す。面積比は、四角形 $AFEC$ を $P$ を用いて3つの三角形に分けて求める。

解法1

$AP=3,\ AD=5$ より、$P,A,D$ はこの順に並ぶので

$$ PD=AP+AD=3+5=8 $$

である。

また、$PC=x$ とおくと、$CB=2$ より

$$ PB=x+2 $$

である。

四角形 $ACBD$ は円に内接しているから、点 $P$ の方べきより

$$ PA \cdot PD=PC \cdot PB $$

が成り立つ。したがって

$$ 3 \cdot 8=x(x+2) $$

となる。

これを解くと

$$ x^2+2x-24=0 $$

$$ (x-4)(x+6)=0 $$

である。$x>0$ より

$$ PC=4 $$

である。よって

$$ PB=PC+CB=4+2=6 $$

も得られる。

次に、$EF \parallel BD$ を用いて $PF,PE$ を求める。

ベクトルで

$$ \vec{PB}=\mathbf{b},\qquad \vec{PD}=\mathbf{d} $$

とおく。また

$$ \mathbf{u}=\vec{BD}=\mathbf{d}-\mathbf{b} $$

とする。

$A$ は $PD$ 上で $PA:PD=3:8$ だから

$$ \vec{PA}=\frac{3}{8}\mathbf{d} $$

である。また、$C$ は $PB$ 上で $PC:PB=4:6=2:3$ だから

$$ \vec{PC}=\frac{2}{3}\mathbf{b} $$

である。

まず $F$ を考える。$F$ は $AB$ 上にあり、かつ $PF \parallel BD$ であるから、ある実数 $t,\lambda$ を用いて

$$ \vec{PF}=t(\mathbf{d}-\mathbf{b}) $$

かつ

$$ \vec{PF} =\vec{PA}+\lambda(\vec{PB}-\vec{PA}) =\frac{3}{8}\mathbf{d} +\lambda\left(\mathbf{b}-\frac{3}{8}\mathbf{d}\right) $$

と表せる。

右辺を整理すると

$$ \vec{PF} =\lambda\mathbf{b}+\frac{3}{8}(1-\lambda)\mathbf{d} $$

である。一方、

$$ t(\mathbf{d}-\mathbf{b})=-t\mathbf{b}+t\mathbf{d} $$

であるから、係数を比較して

$$ \lambda=-t,\qquad \frac{3}{8}(1-\lambda)=t $$

を得る。$\lambda=-t$ を代入すると

$$ \frac{3}{8}(1+t)=t $$

であるから

$$ t=\frac{3}{5} $$

となる。したがって

$$ PF=\frac{3}{5}BD $$

である。

次に $E$ を考える。$E$ は $CD$ 上にあり、かつ $PE \parallel BD$ であるから、ある実数 $s,\mu$ を用いて

$$ \vec{PE}=s(\mathbf{d}-\mathbf{b}) $$

かつ

$$ \vec{PE} =\vec{PC}+\mu(\vec{PD}-\vec{PC}) =\frac{2}{3}\mathbf{b} +\mu\left(\mathbf{d}-\frac{2}{3}\mathbf{b}\right) $$

と表せる。

右辺を整理すると

$$ \vec{PE} =\frac{2}{3}(1-\mu)\mathbf{b}+\mu\mathbf{d} $$

である。一方、

$$ s(\mathbf{d}-\mathbf{b})=-s\mathbf{b}+s\mathbf{d} $$

であるから、係数を比較して

$$ \frac{2}{3}(1-\mu)=-s,\qquad \mu=s $$

を得る。よって

$$ \frac{2}{3}(1-s)=-s $$

となるので

$$ s=-2 $$

である。したがって

$$ PE=2BD $$

である。

よって

$$ \frac{PF}{PE} =\frac{\frac{3}{5}BD}{2BD} =\frac{3}{10} $$

である。

さらに、上の計算で $F$ は $AB$ の延長上にあり

$$ AF=\frac{3}{5}AB $$

である。また、$E$ は $CD$ の延長上にあり

$$ CE=2CD $$

である。

ここで、$\angle APB=\angle CPD=\theta$ とする。余弦定理より

$$ AB^2=AP^2+PB^2-2AP \cdot PB\cos\theta $$

であるから

$$ AB^2=3^2+6^2-2\cdot 3\cdot 6\cos\theta =45-36\cos\theta $$

である。

同様に

$$ CD^2=PC^2+PD^2-2PC \cdot PD\cos\theta $$

より

$$ CD^2=4^2+8^2-2\cdot 4\cdot 8\cos\theta =80-64\cos\theta $$

である。

ここで

$$ 80-64\cos\theta =\frac{16}{9}(45-36\cos\theta) $$

だから

$$ CD^2=\frac{16}{9}AB^2 $$

である。長さは正なので

$$ \frac{CD}{AB}=\frac{4}{3} $$

となる。

したがって

$$ \begin{aligned} \frac{CE}{AF} &= \frac{2CD}{\frac{3}{5}AB} \\ \frac{10}{3}\cdot \frac{CD}{AB} \\ \frac{10}{3}\cdot \frac{4}{3} \\ \frac{40}{9} \end{aligned} $$

である。

最後に面積比を求める。三角形の面積を $[APC]$ のように表す。

$BD=L$ とし、平行な2直線 $EF,BD$ の距離を $h$ とする。

$PF=\dfrac{3}{5}BD$、$PE=2BD$ より

$$ PF=\frac{3}{5}L,\qquad PE=2L $$

である。

また、$A$ は $P$ から $D$ までの $\dfrac{3}{8}$ の位置にあるので、$A$ から直線 $EF$ までの距離は

$$ \frac{3}{8}h $$

である。同様に、$C$ は $P$ から $B$ までの $\dfrac{2}{3}$ の位置にあるので、$C$ から直線 $EF$ までの距離は

$$ \frac{2}{3}h $$

である。

四角形 $AFEC$ は、点 $P$ を用いて

$$ S=[APF]+[APC]+[CPE] $$

と分けられる。

まず

$$ \begin{aligned} [APF] &= \frac{1}{2}\cdot PF \cdot \frac{3}{8}h \\ \frac{1}{2}\cdot \frac{3}{5}L \cdot \frac{3}{8}h \\ \frac{9}{80}Lh \end{aligned} $$

である。

また

$$ \begin{aligned} [CPE] &= \frac{1}{2}\cdot PE \cdot \frac{2}{3}h \\ \frac{1}{2}\cdot 2L \cdot \frac{2}{3}h \\ \frac{2}{3}Lh \end{aligned} $$

である。

さらに、$[PBD]=\dfrac{1}{2}Lh$ であり、$A,C$ はそれぞれ $PD,PB$ 上にあるから

$$ \begin{aligned} [APC] &= \frac{PA}{PD}\cdot \frac{PC}{PB}\cdot [PDB] \end{aligned} $$

である。よって

$$ \begin{aligned} [APC] &= \frac{3}{8}\cdot \frac{4}{6}\cdot \frac{1}{2}Lh \\ \frac{1}{8}Lh \end{aligned} $$

である。

したがって

$$ S = \frac{9}{80}Lh+\frac{1}{8}Lh+\frac{2}{3}Lh $$

$$ \begin{aligned} S = \\ \left(\frac{27}{240}+\frac{30}{240}+\frac{160}{240}\right)Lh \\ \frac{217}{240}Lh \end{aligned} $$

である。

よって

$$ \begin{aligned} \frac{S}{[APC]} &= \frac{\frac{217}{240}Lh}{\frac{1}{8}Lh} \\ \frac{217}{30} \end{aligned} $$

である。

解説

この問題の初手は、円に対する方べきの定理で $PC$ を決めることである。$AD$ と $CB$ の延長線がともに $P$ を通るため、

$$ PA\cdot PD=PC\cdot PB $$

を使える。

その後は、$EF \parallel BD$ による平行線の処理が中心である。$F,E$ の位置は、$BD$ に平行な方向を基準にして比で表すと簡潔に求まる。

面積比では、四角形 $AFEC$ をそのまま扱うより、$P$ を使って

$$ S=[APF]+[APC]+[CPE] $$

と分けるのが有効である。

答え

(1)

$$ PC=4 $$

(2)

$$ \frac{PF}{PE}=\frac{3}{10} $$

(3)

$$ \frac{CE}{AF}=\frac{40}{9} $$

(4)

$$ \frac{S}{[APC]}=\frac{217}{30} $$