数学A 平面図形 問題 25 解説

方針・初手

三角形が存在する条件は、3辺の長さがすべて正であり、どの1辺も他の2辺の和より小さいことである。

直角三角形になる条件は、最も長い辺を斜辺として三平方の定理を立てることで調べる。

解法1

3辺の長さは

$$ a,\quad a-1,\quad 50-a $$

である。

まず、辺の長さはすべて正でなければならないので、

$$ a>0,\quad a-1>0,\quad 50-a>0 $$

より、

$$ 1<a<50 $$

である。

次に、三角形ができるための条件を立てる。

$$ a+(a-1)>50-a $$

より、

$$ 2a-1>50-a $$

したがって、

$$ 3a>51 $$

なので、

$$ a>17 $$

である。

また、

$$ a+(50-a)>a-1 $$

より、

$$ 50>a-1 $$

なので、

$$ a<51 $$

である。

さらに、

$$ (a-1)+(50-a)>a $$

より、

$$ 49>a $$

なので、

$$ a<49 $$

である。

以上を合わせると、三角形が存在するための $a$ の範囲は

$$ 17<a<49 $$

である。

次に、この三角形が直角三角形となる場合を考える。

$a>a-1$ であるから、$a-1$ が最も長い辺になることはない。したがって、斜辺は $a$ または $50-a$ である。

(i)

$50-a$ が斜辺のとき

このとき

$$ (50-a)^2=a^2+(a-1)^2 $$

である。

展開して整理すると、

$$ 2500-100a+a^2=a^2+(a^2-2a+1) $$

より、

$$ a^2+98a-2499=0 $$

である。

これを解くと、

$$ (a-21)(a+119)=0 $$

したがって、

$$ a=21,\ -119 $$

である。

ただし、$17<a<49$ であるから、

$$ a=21 $$

が適する。

(ii)

$a$ が斜辺のとき

このとき

$$ a^2=(a-1)^2+(50-a)^2 $$

である。

展開して整理すると、

$$ a^2=(a^2-2a+1)+(2500-100a+a^2) $$

より、

$$ a^2-102a+2501=0 $$

である。

これを解くと、

$$ (a-41)(a-61)=0 $$

したがって、

$$ a=41,\ 61 $$

である。

ただし、$17<a<49$ であるから、

$$ a=41 $$

が適する。

よって、この三角形が直角三角形となるときの $a$ の値は

$$ a=21,\ 41 $$

である。

解説

この問題では、まず三角形の成立条件を漏れなく確認することが重要である。辺の長さが正であることだけでは不十分で、三角不等式も必要になる。

直角三角形の判定では、三平方の定理を使うが、どの辺が斜辺かを決める必要がある。$a>a-1$ なので、$a-1$ が斜辺になる場合は考えなくてよい。斜辺が $50-a$ の場合と $a$ の場合に分ければ十分である。

答え

$a$ の値の範囲は

$$ 17<a<49 $$

である。

この三角形が直角三角形となるとき、

$$ a=21,\ 41 $$

である。