数学A 平面図形 問題 37 解説

方針・初手

曲線 $y=\dfrac{1}{x}$ 上の2点を結ぶ直線の傾きを計算すると、式が単純になる。まず $AB,BC,CA$ の傾きを求め、そこから高度の方程式を立てて垂心 $H$ の座標を求める。

(2) は、$H$ が三角形 $ABC$ の垂心であることから得られる垂直関係を、三角形 $ABH$ に読み替えればよい。

解法1

曲線 $K:y=\dfrac{1}{x}$ 上の2点

$$ P\left(p,\frac{1}{p}\right),\quad Q\left(q,\frac{1}{q}\right) $$

を結ぶ直線の傾きは

$$ \begin{aligned} \frac{\frac{1}{q}-\frac{1}{p}}{q-p} &= \frac{p-q}{pq(q-p)} \\ -\frac{1}{pq} \end{aligned} $$

である。

したがって

$$ m_{AB}=-\frac{1}{ab},\quad m_{BC}=-\frac{1}{bc},\quad m_{CA}=-\frac{1}{ca} $$

である。

よって、辺 $AB$ に垂直で点 $C$ を通る高度の傾きは $ab$ であるから、その方程式は

$$ y-\frac{1}{c}=ab(x-c) $$

である。

また、辺 $BC$ に垂直で点 $A$ を通る高度の傾きは $bc$ であるから、その方程式は

$$ y-\frac{1}{a}=bc(x-a) $$

である。

この2本の高度の交点を $H(x,y)$ とする。すると

$$ abx-abc+\frac{1}{c}=bcx-abc+\frac{1}{a} $$

より

$$ b(a-c)x=\frac{1}{a}-\frac{1}{c} $$

である。ここで $a\ne c$ なので、

$$ b(a-c)x=\frac{c-a}{ac} $$

より

$$ x=-\frac{1}{abc} $$

を得る。

これを

$$ y-\frac{1}{c}=ab(x-c) $$

に代入すると、

$$ \begin{aligned} y &=ab\left(-\frac{1}{abc}-c\right)+\frac{1}{c} \\ &=-\frac{1}{c}-abc+\frac{1}{c} \\ &=-abc \end{aligned} $$

となる。

したがって

$$ H\left(-\frac{1}{abc},-abc\right) $$

である。

このとき

$$ \frac{1}{-\frac{1}{abc}}=-abc $$

であるから、$H$ の $y$ 座標は $x$ 座標の逆数になっている。よって

$$ H\in K $$

である。すなわち、三角形 $ABC$ の垂心 $H$ は曲線 $K$ 上にある。

次に、三角形 $ABH$ の垂心を考える。

$H$ は三角形 $ABC$ の垂心であるから、

$$ CH\perp AB,\quad AH\perp BC,\quad BH\perp AC $$

が成り立つ。

三角形 $ABH$ において、辺 $AB$ に対する点 $H$ からの高度は、$AB$ に垂直な直線である。ところが $CH\perp AB$ なので、この高度は直線 $CH$ である。

また、辺 $BH$ に対する点 $A$ からの高度は、$BH$ に垂直な直線である。ところが $BH\perp AC$ なので、この高度は直線 $AC$ である。

直線 $CH$ と直線 $AC$ の交点は $C$ である。したがって、三角形 $ABH$ の2本の高度は点 $C$ で交わる。

よって、三角形 $ABH$ の垂心は点 $C$ である。

解説

この問題の中心は、曲線 $y=\dfrac{1}{x}$ 上の2点を結ぶ直線の傾きが

$$ -\frac{1}{pq} $$

という形になる点である。これにより、垂線の傾きが単に $pq$ となり、高度の方程式が非常に扱いやすくなる。

また、(2) は座標計算をさらに続ける必要はない。三角形 $ABC$ の垂心 $H$ が分かれば、$A,B,C,H$ は互いに「どの3点を三角形として見ても残りの1点が垂心になる」配置になっている。このような4点の組を直交四点系と見ることができる。

ただし、$H=A$ または $H=B$ となる特殊な場合には、三角形 $ABH$ は退化する。通常の意味で三角形 $ABH$ の垂心を考える場合は、$A,B,H$ が相異なる場合を前提とする。

答え

(1)

三角形 $ABC$ の垂心は

$$ H\left(-\frac{1}{abc},-abc\right) $$

であり、

$$ -!abc=\frac{1}{-\frac{1}{abc}} $$

だから、$H$ は曲線 $K:y=\dfrac{1}{x}$ 上にある。

(2)

$H$ が三角形 $ABC$ の垂心であることから

$$ CH\perp AB,\quad BH\perp AC $$

が成り立つ。したがって、三角形 $ABH$ の高度は点 $C$ で交わるので、三角形 $ABH$ の垂心は点 $C$ である。