数学A 平面図形 問題 38 解説

方針・初手

重心は3頂点の座標の平均で求める。

外心は3頂点から等距離にある点であるから、辺 $OA$ の垂直二等分線を利用する。

内心は、各頂点の座標をその対辺の長さで重み付けした平均で求める。

解法1

まず、重心を求める。三角形の3頂点が $O(0,0)$、$A(63,0)$、$B(15,20)$ であるから、重心の座標は

$$ \begin{aligned} \left( \frac{0+63+15}{3}, \frac{0+0+20}{3} \right) &= \left(26,\frac{20}{3}\right) \end{aligned} $$

である。

次に、外心を求める。外心を $P(x,y)$ とする。辺 $OA$ は $x$ 軸上にあり、$O(0,0)$、$A(63,0)$ であるから、$OA$ の垂直二等分線は

$$ x=\frac{63}{2} $$

である。したがって、外心は

$$ P\left(\frac{63}{2},y\right) $$

とおける。

外心は $O$ と $B$ から等距離にあるので、

$$ PO^2=PB^2 $$

を用いる。

$$ \begin{aligned} \left(\frac{63}{2}\right)^2+y^2 &= \left(\frac{63}{2}-15\right)^2+(y-20)^2 \end{aligned} $$

ここで

$$ \frac{63}{2}-15=\frac{33}{2} $$

であるから、

$$ \begin{aligned} \frac{3969}{4}+y^2 &= \frac{1089}{4}+(y-20)^2 \end{aligned} $$

となる。これを整理すると、

$$ \begin{aligned} \frac{3969}{4} &= \frac{1089}{4}-40y+400 \end{aligned} $$

$$ 720=-40y+400 $$

$$ y=-8 $$

である。よって、外心の座標は

$$ \left(\frac{63}{2},-8\right) $$

である。

最後に、内心を求める。各辺の長さは

$$ OA=63 $$

$$ OB=\sqrt{15^2+20^2}=25 $$

$$ AB=\sqrt{(63-15)^2+(0-20)^2} =\sqrt{48^2+20^2} =52 $$

である。

内心の座標は、各頂点をその対辺の長さで重み付けした平均で求められる。頂点 $O$ の対辺は $AB=52$、頂点 $A$ の対辺は $OB=25$、頂点 $B$ の対辺は $OA=63$ であるから、内心を $I$ とすると

$$ I= \frac{52O+25A+63B}{52+25+63} $$

である。したがって、分母は

$$ 52+25+63=140 $$

であり、$x$ 座標は

$$ \begin{aligned} \frac{52\cdot 0+25\cdot 63+63\cdot 15}{140} &= \frac{1575+945}{140} \\ 18 \end{aligned} $$

である。また、$y$ 座標は

$$ \begin{aligned} \frac{52\cdot 0+25\cdot 0+63\cdot 20}{140} &= \frac{1260}{140} \\ 9 \end{aligned} $$

である。よって、内心の座標は

$$ (18,9) $$

である。

解説

重心は単純な座標の平均であるため、計算ミスをしなければよい。

外心は「3点から等距離」という定義をそのまま使うよりも、辺 $OA$ が水平であることに注目し、まず $x=\frac{63}{2}$ とおくと計算が大きく減る。

内心は辺の長さを重みとして用いる公式が有効である。この問題では $OB=25$、$AB=52$、$OA=63$ という整数値になるため、内心の計算もきれいに進む。

答え

(1)

重心の座標は

$$ \left(26,\frac{20}{3}\right) $$

である。したがって、

$$ \text{ア}=26,\qquad \text{イ}=\frac{20}{3} $$

(2)

外心の座標は

$$ \left(\frac{63}{2},-8\right) $$

である。したがって、

$$ \text{ウ}=\frac{63}{2},\qquad \text{エ}=-8 $$

(3)

内心の座標は

$$ (18,9) $$

である。したがって、

$$ \text{オ}=18,\qquad \text{カ}=9 $$