数学C 複素数平面 問題 3 解説

方針・初手

右辺を極形式に直し、複素数の $3$ 乗根を偏角で求める。$3$ つの解は偏角が $120^\circ$ ずつ異なるので、複素数平面上では原点中心の円周上に等間隔に並ぶ。この性質から正三角形であることを示す。

解法1

方程式は

$$ z^3=4\sqrt{2}(-1+i) $$

である。まず右辺を極形式に直す。

$-1+i$ の絶対値は

$$ |-1+i|=\sqrt{(-1)^2+1^2}=\sqrt{2} $$

であり、偏角は第 $2$ 象限なので

$$ \arg(-1+i)=\frac{3\pi}{4} $$

である。したがって

$$ 4\sqrt{2}(-1+i) =4\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}\left(\cos\frac{3\pi}{4}+i\sin\frac{3\pi}{4}\right) =8\left(\cos\frac{3\pi}{4}+i\sin\frac{3\pi}{4}\right) $$

となる。

ここで $z=r(\cos\theta+i\sin\theta)$ とおくと、ド・モアブルの定理より

$$ z^3=r^3(\cos3\theta+i\sin3\theta) $$

である。よって

$$ r^3=8 $$

より

$$ r=2 $$

であり、また偏角について

$$ 3\theta=\frac{3\pi}{4}+2k\pi \quad (k=0,1,2) $$

となる。したがって

$$ \theta=\frac{\pi}{4}+\frac{2k\pi}{3} \quad (k=0,1,2) $$

である。

$a\geq 0,\ b\geq 0$ を満たす解は第 $1$ 象限の解であり、$k=0$ のとき

$$ z_1=2\left(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}\right) $$

である。したがって

$$ z_1=2\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+i\frac{\sqrt{2}}{2}\right) =\sqrt{2}+\sqrt{2}i $$

となる。

よって

$$ a=\sqrt{2},\quad b=\sqrt{2} $$

である。

次に、$1$ の $3$ 乗根を用いる。$1$ の虚数の $3$ 乗根を

$$ \omega=\cos\frac{2\pi}{3}+i\sin\frac{2\pi}{3} =\frac{-1+\sqrt{3}i}{2} $$

とおくと、$\omega^3=1$ である。

$z_1^3=4\sqrt{2}(-1+i)$ であるから、

$$ (z_1\omega)^3=z_1^3\omega^3=z_1^3 $$

であり、同様に

$$ (z_1\omega^2)^3=z_1^3 $$

である。よって他の $2$ つの解は

$$ z_1\omega,\quad z_1\omega^2 $$

である。

すなわち

$$ \frac{-1+\sqrt{3}i}{2}z_1,\quad \frac{-1-\sqrt{3}i}{2}z_1 $$

である。

最後に、これら $3$ 点が正三角形を作ることを示す。

$3$ つの解を

$$ z_1,\quad z_1\omega,\quad z_1\omega^2 $$

とする。これらの絶対値はすべて

$$ |z_1|=|z_1\omega|=|z_1\omega^2|=2 $$

である。

また、$\omega$ は偏角を $\frac{2\pi}{3}$ だけ回転させる複素数であるから、$3$ つの点は原点を中心とする半径 $2$ の円周上に、偏角が $\frac{2\pi}{3}$ ずつ異なる位置にある。

辺の長さを直接計算してもよい。たとえば

$$ |z_1-z_1\omega| =|z_1||1-\omega| $$

である。ここで

$$ |1-\omega| =\left|1-\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}\right| =\left|\frac{3-\sqrt{3}i}{2}\right| =\sqrt{\frac{9+3}{4}} =\sqrt{3} $$

だから、

$$ |z_1-z_1\omega|=2\sqrt{3} $$

である。

同様に

$$ |z_1\omega-z_1\omega^2| =|z_1||\omega-\omega^2| $$

であり、

$$ |\omega-\omega^2| =|\omega(1-\omega)| =|\omega||1-\omega| =\sqrt{3} $$

なので

$$ |z_1\omega-z_1\omega^2|=2\sqrt{3} $$

である。

さらに

$$ |z_1\omega^2-z_1| =|z_1||\omega^2-1| $$

であり、$\omega^2$ も $\omega$ と同様に $1$ との距離が $\sqrt{3}$ であるから

$$ |z_1\omega^2-z_1|=2\sqrt{3} $$

である。

したがって、$3$ 辺の長さはすべて等しい。よって、$3$ つの解を表す点を頂点とする三角形は正三角形である。

解説

複素数の方程式 $z^3=\alpha$ では、右辺を極形式にすることが最初の処理である。絶対値は $3$ 乗根をとり、偏角は $3$ で割ったうえで $2\pi/3$ ずつずれる。

この問題では右辺の絶対値が $8$ なので、解の絶対値はすべて $2$ である。また、$3$ つの解は $1$ の $3$ 乗根を掛けることで互いに移り合うため、複素数平面上では原点中心に $120^\circ$ ずつ回転した位置にある。この構造を使えば、正三角形であることを自然に示せる。

答え

$$ a=\sqrt{2},\quad b=\sqrt{2} $$

他の $2$ つの解は

$$ \frac{-1+\sqrt{3}i}{2}z_1,\quad \frac{-1-\sqrt{3}i}{2}z_1 $$

である。

また、$3$ つの解を表す点を頂点とする三角形は正三角形である。