数学C 複素数平面 問題 10 解説

方針・初手

$z+\dfrac{1}{z}$ の値が与えられているので、

$$ a_n=z^n+\frac{1}{z^n} $$

とおく。すると $a_n$ は漸化式で順に求められる。

解法1

$z+\dfrac{1}{z}=\sqrt{3}$ より、$a_n=z^n+\dfrac{1}{z^n}$ とおく。

このとき、

$$ \begin{aligned} a_{n+1} &=z^{n+1}+\frac{1}{z^{n+1}} \\ &=\left(z+\frac{1}{z}\right)\left(z^n+\frac{1}{z^n}\right)-\left(z^{n-1}+\frac{1}{z^{n-1}}\right) \end{aligned} $$

であるから、

$$ a_{n+1}=\sqrt{3}a_n-a_{n-1} $$

が成り立つ。

また、

$$ a_0=z^0+\frac{1}{z^0}=2,\qquad a_1=z+\frac{1}{z}=\sqrt{3} $$

である。

順に計算すると、

$$ \begin{aligned} a_2&=\sqrt{3}a_1-a_0=3-2=1,\\ a_3&=\sqrt{3}a_2-a_1=\sqrt{3}-\sqrt{3}=0,\\ a_4&=\sqrt{3}a_3-a_2=0-1=-1,\\ a_5&=\sqrt{3}a_4-a_3=-\sqrt{3},\\ a_6&=\sqrt{3}a_5-a_4=-3+1=-2,\\ a_7&=\sqrt{3}a_6-a_5=-2\sqrt{3}+\sqrt{3}=-\sqrt{3},\\ a_8&=\sqrt{3}a_7-a_6=-3+2=-1,\\ a_9&=\sqrt{3}a_8-a_7=-\sqrt{3}+\sqrt{3}=0,\\ a_{10}&=\sqrt{3}a_9-a_8=0-(-1)=1. \end{aligned} $$

したがって、

$$ z^{10}+\frac{1}{z^{10}}=1 $$

である。

解法2

$z+\dfrac{1}{z}=\sqrt{3}$ の両辺に $z$ をかけると、

$$ z^2-\sqrt{3}z+1=0 $$

となる。

これを解くと、

$$ z=\frac{\sqrt{3}\pm i}{2} $$

である。これは

$$ z=\cos\frac{\pi}{6}\pm i\sin\frac{\pi}{6} $$

と表せる。

したがって、$z=e^{i\pi/6}$ または $z=e^{-i\pi/6}$ とみなせる。どちらの場合も、

$$ z^{10}+\frac{1}{z^{10}} =2\cos\frac{10\pi}{6} =2\cos\frac{5\pi}{3} =1 $$

となる。

解説

この問題は、$z+\dfrac{1}{z}$ から $z^n+\dfrac{1}{z^n}$ を求める典型問題である。

計算だけで処理するなら、漸化式

$$ a_{n+1}=\left(z+\frac{1}{z}\right)a_n-a_{n-1} $$

を使うのが安全である。

一方、$z$ を実際に求めると単位円上の複素数になるため、極形式を使えば三角関数で短く求められる。

答え

$$ 1 $$