数学C 複素数平面 問題 11 解説

方針・初手

$x^4$ と $x^2$ だけを含むので、まず $t=x^2$ とおく。すると

$$ t^2+bt+c^2=0 $$

という2次方程式になる。この2つの $t$ の値から $x$ の4解を考える。

4個の相異なる虚数解をもつ条件は、$t$ の2解が重ならず、かつ $x$ が実数にならない条件として調べる。

解法1

$t=x^2$ とおくと、

$$ t^2+bt+c^2=0 $$

である。この2次方程式の判別式を

$$ D=b^2-4c^2 $$

とする。また、$c>0$ より、2解 $\alpha,\beta$ について

$$ \alpha\beta=c^2>0 $$

である。

(1)

$D=0$ のとき、$t$ の解が重なるので、$x$ の解も重複し、4個の相異なる解にはならない。よって $D\neq 0$ が必要である。

(i)

$D<0$ のとき

$t$ の2解は互いに共役な虚数である。このとき、実数 $x$ に対しては $x^2$ は実数であるから、$x$ が実数解になることはない。

したがって、この場合は4個すべてが虚数解である。条件は

$$ b^2-4c^2<0 $$

すなわち、$c>0$ より

$$ -2c<b<2c $$

である。

(ii)

$D>0$ のとき

$t$ の2解は実数である。$x$ が実数解にならないためには、$t=x^2$ の値が正であってはならない。

また $\alpha\beta=c^2>0$ なので、$\alpha,\beta$ は同符号である。両方とも負であるためには

$$ \alpha+\beta=-b<0 $$

が必要十分であり、これは

$$ b>0 $$

と同値である。

さらに $D>0$ より

$$ b^2>4c^2 $$

である。$c>0$ だから、$b>0$ と合わせると

$$ b>2c $$

となる。

以上より、4個の相異なる虚数解をもつ条件は

$$ -2c<b<2c \quad \text{または} \quad b>2c $$

である。

(2)

(1)の条件のもとで、場合に分けて4個の解を表す。

(i)

$-2c<b<2c$ のとき

$$ p=\sqrt{2c-b},\qquad q=\sqrt{2c+b} $$

とおく。このとき $p,q$ は正の実数であり、

$$ \begin{aligned} x^4+bx^2+c^2 &=(x^2+c)^2-p^2x^2 \\ &=(x^2+px+c)(x^2-px+c) \end{aligned} $$

である。

実際、

$$ 2c-p^2=2c-(2c-b)=b $$

である。

よって

$$ x^2-px+c=0 $$

から

$$ x=\frac{p\pm iq}{2} $$

を得る。また、

$$ x^2+px+c=0 $$

から

$$ x=\frac{-p\pm iq}{2} $$

を得る。

したがって、4個の解は

$$ x=\frac{\pm\sqrt{2c-b}\pm i\sqrt{2c+b}}{2} $$

である。ただし、2つの $\pm$ は独立にとる。

(ii)

$b>2c$ のとき

$$ r=\frac{\sqrt{b+2c}+\sqrt{b-2c}}{2},\qquad s=\frac{\sqrt{b+2c}-\sqrt{b-2c}}{2} $$

とおく。このとき $r>s>0$ である。

さらに

$$ \begin{aligned} r^2+s^2&=b,\\ rs&=c \end{aligned} $$

が成り立つ。したがって

$$ (x^2+r^2)(x^2+s^2) =x^4+(r^2+s^2)x^2+r^2s^2 =x^4+bx^2+c^2 $$

である。

よって、4個の解は

$$ x=\pm ir,\quad \pm is $$

すなわち

$$ x=\pm \frac{i}{2}\left(\sqrt{b+2c}+\sqrt{b-2c}\right), \quad x=\pm \frac{i}{2}\left(\sqrt{b+2c}-\sqrt{b-2c}\right) $$

である。

(3)

$-2c<b<2c$ のとき、(2)より4個の解は

$$ x=\frac{\pm p\pm iq}{2} $$

と表される。ただし

$$ p=\sqrt{2c-b},\qquad q=\sqrt{2c+b} $$

である。

このとき、どの解についても絶対値の2乗は

$$ \left|\frac{\pm p\pm iq}{2}\right|^2 =\frac{p^2+q^2}{4} =\frac{(2c-b)+(2c+b)}{4} =c $$

である。

したがって、4個の解はすべて

$$ |z|=\sqrt{c} $$

という同一円周上にある。

一方、$b>2c$ のとき、(2)より4個の解はすべて虚軸上にある。4個の相異なる点が同一直線上にある場合、1つの円周がその直線と交わる点は高々2個であるから、4点すべてが同一円周上にあることはない。

よって、4個の解が同一円周上にある条件は

$$ -2c<b<2c $$

である。

(4)

4個の解が同一直線上に並ぶためには、(2)より $b>2c$ の場合でなければならない。

このとき、4個の解は

$$ -ir,\ -is,\ is,\ ir $$

である。ただし

$$ r>s>0,\qquad r^2+s^2=b,\qquad rs=c $$

である。

虚軸上で等間隔に並ぶためには、隣り合う間隔が等しければよい。並び順は

$$ -ir,\ -is,\ is,\ ir $$

なので、間隔はそれぞれ

$$ r-s,\quad 2s,\quad r-s $$

である。したがって等間隔であるための条件は

$$ r-s=2s $$

すなわち

$$ r=3s $$

である。

このとき

$$ rs=3s^2=c $$

より

$$ s^2=\frac{c}{3} $$

である。したがって

$$ b=r^2+s^2=9s^2+s^2=10s^2=\frac{10c}{3} $$

を得る。

逆に

$$ b=\frac{10c}{3} $$

ならば、$b>2c$ であり、

$$ \frac{r^2+s^2}{rs}=\frac{b}{c}=\frac{10}{3} $$

である。$k=r/s>1$ とおくと、

$$ k+\frac{1}{k}=\frac{10}{3} $$

であるから

$$ 3k^2-10k+3=0 $$

となる。これを解くと

$$ k=3,\ \frac13 $$

であり、$k>1$ より

$$ k=3 $$

である。したがって $r=3s$ となり、4個の解は等間隔に並ぶ。

よって、条件は

$$ b=\frac{10c}{3} $$

である。

解説

この問題の中心は、$x^4+bx^2+c^2=0$ を $t=x^2$ によって2次方程式へ落とすことである。

(1)では、$t$ の解が実数か虚数か、さらに $t$ が正か負かを調べる必要がある。$t>0$ なら $x$ は実数解をもつため、虚数解だけにはならない。

(2)では、通常の解の公式をそのまま使うと二重根号が出る。そこで、$-2c<b<2c$ の場合は実数部・虚数部に分ける因数分解を使い、$b>2c$ の場合は純虚数解 $\pm ir,\pm is$ の形で表すと、二重根号を避けられる。

(3)では、$-2c<b<2c$ の場合に4点が長方形の頂点になり、原点中心の円周上に乗る。一方、$b>2c$ の場合は4点が虚軸上に並ぶので、同一円周上には乗らない。

(4)では、$b>2c$ の場合だけを考えればよい。虚軸上の4点 $-ir,-is,is,ir$ が等間隔に並ぶ条件は、中央の間隔 $2s$ と外側の間隔 $r-s$ が等しいこと、すなわち $r=3s$ である。

答え

(1)

$$ -2c<b<2c \quad \text{または} \quad b>2c $$

(2)

$-2c<b<2c$ のとき、

$$ x=\frac{\pm\sqrt{2c-b}\pm i\sqrt{2c+b}}{2} $$

ただし、2つの $\pm$ は独立にとる。

$b>2c$ のとき、

$$ x=\pm \frac{i}{2}\left(\sqrt{b+2c}+\sqrt{b-2c}\right), \quad x=\pm \frac{i}{2}\left(\sqrt{b+2c}-\sqrt{b-2c}\right) $$

(3)

$$ -2c<b<2c $$

(4)

$$ b=\frac{10c}{3} $$