数学C 複素数平面 問題 16 解説

方針・初手

$z$ が非実数の場合と実数の場合で性質が異なる。係数 $a,b$ は実数なので、非実数解をもつときは共役な複素数も解になる。一方、$z$ が実数の場合は、もう一つの実数解を文字でおいて、係数条件 $|a|\leqq 1,\ |b|\leqq 1$ を調べる。

解法1

$z=x+yi$ とおく。ただし $x,y$ は実数である。

まず $y\ne 0$、すなわち $z$ が非実数の場合を考える。係数が実数であるから、$\overline{z}=x-yi$ も解である。したがって

$$ z^2+az+b=(z-(x+yi))(z-(x-yi)) $$

となる。右辺を展開すると

$$ (z-(x+yi))(z-(x-yi)) =z^2-2xz+(x^2+y^2) $$

であるから、係数を比較して

$$ a=-2x,\qquad b=x^2+y^2 $$

を得る。

条件 $|a|\leqq 1,\ |b|\leqq 1$ より

$$ |-2x|\leqq 1,\qquad x^2+y^2\leqq 1 $$

である。したがって

$$ |x|\leqq \frac12,\qquad x^2+y^2\leqq 1 $$

が必要である。

逆に、$|x|\leqq \frac12,\ x^2+y^2\leqq 1$ を満たす $z=x+yi$ に対して

$$ a=-2x,\qquad b=x^2+y^2 $$

とおけば、$a,b$ は実数であり、

$$ |a|=2|x|\leqq 1,\qquad |b|=x^2+y^2\leqq 1 $$

を満たす。このとき

$$ z^2+az+b =z^2-2xz+(x^2+y^2) =(z-(x+yi))(z-(x-yi)) $$

となるので、$z=x+yi$ は確かに解である。

よって、非実数部分を含めて

$$ |x|\leqq \frac12,\qquad x^2+y^2\leqq 1 $$

で表される部分はすべて範囲に含まれる。

次に $z$ が実数の場合を考える。$z=t$ とおく。$t$ が方程式

$$ z^2+az+b=0 $$

の解であるためには

$$ t^2+at+b=0 $$

すなわち

$$ b=-t^2-at $$

となる実数 $a$ が存在すればよい。条件は

$$ -1\leqq a\leqq 1,\qquad |-t^2-at|\leqq 1 $$

である。

ここで

$$ -t^2-at=-t(t+a) $$

であるから、$a\in[-1,1]$ の範囲で $|t+a|$ をできるだけ小さくすればよい。

(i)

$|t|\leqq 1$ のとき

$a=-t$ と選べば $a\in[-1,1]$ であり、

$$ b=-t(t+a)=0 $$

となる。したがって $|b|\leqq 1$ を満たすので、この範囲の実数 $t$ はすべて可能である。

(ii)

$t>1$ のとき

$|t+a|$ が最小になるのは $a=-1$ のときである。このとき

$$ |b|=|-t(t-1)|=t(t-1) $$

である。したがって必要十分条件は

$$ t(t-1)\leqq 1 $$

である。これを解くと

$$ t^2-t-1\leqq 0 $$

より

$$ 1<t\leqq \frac{1+\sqrt5}{2} $$

となる。

(iii)

$t<-1$ のとき

$|t+a|$ が最小になるのは $a=1$ のときである。このとき

$$ |b|=|-t(t+1)| $$

である。$u=-t>1$ とおけば

$$ |b|=u(u-1) $$

となるから、条件は

$$ u(u-1)\leqq 1 $$

である。したがって

$$ u\leqq \frac{1+\sqrt5}{2} $$

すなわち

$$ -\frac{1+\sqrt5}{2}\leqq t<-1 $$

となる。

以上より、実数解として取りうる範囲は

$$ -\frac{1+\sqrt5}{2}\leqq t\leqq \frac{1+\sqrt5}{2} $$

である。

したがって、求める範囲は

$$ \left\{z=x+yi\mid |x|\leqq \frac12,\ x^2+y^2\leqq 1\right\} \cup \left\{z\in\mathbb{R}\mid |z|\leqq \frac{1+\sqrt5}{2}\right\} $$

である。

図示すると、複素数平面上で、円 $x^2+y^2\leqq 1$ の内部のうち、縦の帯

$$ -\frac12\leqq x\leqq \frac12 $$

に入る部分すべてと、実軸上の線分

$$ -\frac{1+\sqrt5}{2}\leqq x\leqq \frac{1+\sqrt5}{2} $$

を合わせた図形である。境界もすべて含む。

解説

非実数解については、係数が実数であることから共役解を利用するのが最短である。このとき係数は

$$ a=-2\operatorname{Re}z,\qquad b=|z|^2 $$

と決まり、条件 $|a|\leqq 1,\ |b|\leqq 1$ がそのまま

$$ |\operatorname{Re}z|\leqq \frac12,\qquad |z|\leqq 1 $$

に変換される。

一方、実数解では、非実数の場合のようにもう一つの解が共役で決まるわけではない。そのため、$z=t$ を代入して $a$ を動かし、$|b|\leqq 1$ を満たせるかを調べる必要がある。ここを非実数の場合と同じ処理で済ませると、実軸上の

$$ \frac12<|x|\leqq \frac{1+\sqrt5}{2} $$

を落としてしまう。

答え

求める範囲は

$$ \boxed{ \left\{z=x+yi\mid |x|\leqq \frac12,\ x^2+y^2\leqq 1\right\} \cup \left\{z\in\mathbb{R}\mid |z|\leqq \frac{1+\sqrt5}{2}\right\} } $$

である。

すなわち、単位円 $x^2+y^2\leqq 1$ の内部で $-\frac12\leqq x\leqq \frac12$ を満たす部分に、実軸上の線分

$$ -\frac{1+\sqrt5}{2}\leqq x\leqq \frac{1+\sqrt5}{2} $$

を加えた図形である。