数学C 複素数平面 問題 17 解説

方針・初手

$z$ は $x$ と $y$ の中点である。したがって、$x$ の動く円板と $y$ の動く円周をそれぞれ $1/2$ 倍し、その和集合として $z$ の動く領域を考える。

中心をそろえるために、まず $z-(4+3i)$ を計算する。

解法1

$y$ は

$$ |y-(8+6i)|=3 $$

を満たすので、$y$ は中心 $8+6i$、半径 $3$ の円周上を動く。

$z=\dfrac{x+y}{2}$ より、

$$ z-(4+3i)=\frac{x}{2}+\frac{y-(8+6i)}{2} $$

である。

ここで

$$ u=\frac{x}{2},\qquad v=\frac{y-(8+6i)}{2} $$

とおくと、条件は

$$ |u|\leqq 1,\qquad |v|=\frac{3}{2} $$

となる。よって

$$ z-(4+3i)=u+v $$

である。

つまり、$z-(4+3i)$ は、半径 $1$ 以下の円板上の点 $u$ と、半径 $\dfrac{3}{2}$ の円周上の点 $v$ の和として表される。

このとき、三角不等式より

$$ \left||v|-|u|\right|\leqq |u+v|\leqq |u|+|v| $$

である。$|u|\leqq 1,\ |v|=\dfrac{3}{2}$ だから、

$$ \frac{1}{2}\leqq |u+v|\leqq \frac{5}{2} $$

となる。

逆に、任意の $r$ が

$$ \frac{1}{2}\leqq r\leqq \frac{5}{2} $$

を満たすとき、$|v|=\dfrac{3}{2}$ の点を適当に固定し、同じ直線上で $u$ を選べば、$|u|\leqq 1$ の範囲で $|u+v|=r$ を実現できる。さらに向きは $v$ の向きを回転させることで自由に変えられる。

したがって、$z$ の動く領域は

$$ \frac{1}{2}\leqq |z-(4+3i)|\leqq \frac{5}{2} $$

である。

これは、複素数平面上で中心 $4+3i$、外半径 $\dfrac{5}{2}$、内半径 $\dfrac{1}{2}$ の円環領域である。

面積は

$$ \begin{aligned} \pi\left(\frac{5}{2}\right)^2-\pi\left(\frac{1}{2}\right)^2 &= \pi\left(\frac{25}{4}-\frac{1}{4}\right)\\ &= 6\pi \end{aligned} $$

である。

解説

この問題では、$y$ が円板ではなく円周上を動く点であることに注意する必要がある。もし $|y-(8+6i)|\leqq 3$ なら単なる円板になるが、今回は $|y-(8+6i)|=3$ なので、半径 $\dfrac{3}{2}$ の円周に半径 $1$ の円板を重ねた領域になる。

そのため、中心 $4+3i$ の周りに穴が空き、内半径 $\dfrac{1}{2}$、外半径 $\dfrac{5}{2}$ の円環領域となる。

答え

$z$ の動く領域は

$$ \frac{1}{2}\leqq |z-(4+3i)|\leqq \frac{5}{2} $$

であり、中心 $4+3i$、内半径 $\dfrac{1}{2}$、外半径 $\dfrac{5}{2}$ の円環領域である。

面積は

$$ 6\pi $$

である。