数学C 複素数平面(軌跡問題) 問題 10 解説

方針・初手

実部の条件は、共役を用いると代数的に扱いやすい。また、点 $P$ は複素数 $1+i$ に対応するので、中心 $P$、半径 $\sqrt{2}$ の円周上にある条件は

$$ |\omega-(1+i)|=\sqrt{2} $$

と表せる。特に、$\dfrac{1+i}{\omega}$ とおくことで、円の条件が実部の条件に変換される。

解法1

(1)

$z=a+bi$ とおく。ただし $a,b$ は実数である。このとき

$$ \bar z=a-bi $$

であるから、

$$ z+\bar z=(a+bi)+(a-bi)=2a $$

となる。したがって

$$ \frac{1}{2}(z+\bar z)=a $$

である。これは $z$ の実部であるから、複素数 $z$ の実部は

$$ \frac{1}{2}(z+\bar z) $$

に等しい。

(2)

$z=a+bi$ とおく。ただし $a,b$ は実数である。このとき

$$ (1+i)z=(1+i)(a+bi)=(a-b)+(a+b)i $$

である。

$(1+i)z$ の実部が $1$ であるから、

$$ a-b=1 $$

が成り立つ。ここで

$$ t=\frac{a+b}{2} $$

とおくと、$t$ は実数であり、$a-b=1$ より

$$ a=\frac{1}{2}+t,\qquad b=-\frac{1}{2}+t $$

と表せる。

よって

$$ z=a+bi =\left(\frac{1}{2}+t\right)+\left(-\frac{1}{2}+t\right)i =\frac{1-i}{2}+(1+i)t $$

となる。したがって、条件を満たす任意の複素数 $z$ に対して、等式

$$ z=\frac{1-i}{2}+(1+i)t $$

を満たす実数 $t$ が存在する。

(3)

$$ u=\frac{1+i}{\omega} $$

とおく。$\omega\neq 0$ であるから、この置き方は可能である。

このとき

$$ \omega=\frac{1+i}{u} $$

である。$\omega$ が中心 $P$、半径 $\sqrt{2}$ の円周上の点であるから、

$$ |\omega-(1+i)|=\sqrt{2} $$

が成り立つ。これに $\omega=\dfrac{1+i}{u}$ を代入すると、

$$ \left|\frac{1+i}{u}-(1+i)\right|=\sqrt{2} $$

となる。左辺を整理すると、

$$ \left|(1+i)\left(\frac{1-u}{u}\right)\right| =|1+i|\frac{|1-u|}{|u|} =\sqrt{2}\frac{|1-u|}{|u|} $$

であるから、

$$ \sqrt{2}\frac{|1-u|}{|u|}=\sqrt{2} $$

となる。よって

$$ |1-u|=|u| $$

である。

両辺を2乗すると、

$$ (1-u)(1-\bar u)=u\bar u $$

である。展開して整理すると、

$$ 1-u-\bar u+u\bar u=u\bar u $$

より

$$ u+\bar u=1 $$

を得る。

(1)より、$u$ の実部は

$$ \frac{1}{2}(u+\bar u)=\frac{1}{2} $$

である。したがって

$$ \frac{1+i}{\omega} $$

の実部は

$$ \frac{1}{2} $$

である。

(4)

条件より、

$$ 2(1+i)z $$

の実部が $1$ である。したがって

$$ (1+i)z $$

の実部は

$$ \frac{1}{2} $$

である。

ここで

$$ u=(1+i)z $$

とおく。すると

$$ \operatorname{Re}u=\frac{1}{2} $$

であるから、(1)より

$$ u+\bar u=1 $$

が成り立つ。

このとき

$$ |1-u|^2=(1-u)(1-\bar u) =1-u-\bar u+u\bar u $$

である。$u+\bar u=1$ を代入すると、

$$ |1-u|^2=u\bar u=|u|^2 $$

となる。よって

$$ |1-u|=|u| $$

である。

また、条件より $z\neq 0$ である。実際、$z=0$ なら $2(1+i)z=0$ となり、実部は $1$ にならない。

したがって

$$ \left|\frac{1}{z}-(1+i)\right| = \left|\frac{1-(1+i)z}{z}\right| \frac{|1-u|}{|z|} $$

である。さらに $u=(1+i)z$ だから、

$$ |u|=|1+i||z|=\sqrt{2}|z| $$

である。よって $|1-u|=|u|$ から、

$$ \begin{aligned} \left|\frac{1}{z}-(1+i)\right| &= \frac{|u|}{|z|}\\ &= \frac{\sqrt{2}|z|}{|z|}\\ &= \sqrt{2} \end{aligned} $$

となる。

これは、$\dfrac{1}{z}$ が複素数平面において、中心 $P$、半径 $\sqrt{2}$ の円周上にあることを意味する。

解説

この問題の中心は、実部を共役で表すことと、円の条件を絶対値で表すことである。

特に、

$$ \operatorname{Re}u=\frac{1}{2} $$

という条件は

$$ u+\bar u=1 $$

と同値であり、これはさらに

$$ |1-u|=|u| $$

という距離の条件に変換できる。この関係によって、直線的な実部条件と円の条件が結びつく。

(3) と (4) は互いに対応しており、変数

$$ u=\frac{1+i}{\omega} $$

または

$$ u=(1+i)z $$

を導入することで、どちらも同じ構造に帰着される。

答え

(1)

複素数 $z$ の実部は

$$ \frac{1}{2}(z+\bar z) $$

である。

(2)

$(1+i)z$ の実部が $1$ である任意の複素数 $z$ は、ある実数 $t$ を用いて

$$ z=\frac{1-i}{2}+(1+i)t $$

と表せる。

(3)

$$ \frac{1+i}{\omega} $$

の実部は

$$ \frac{1}{2} $$

である。

(4)

条件を満たす複素数 $z$ に対して、

$$ \left|\frac{1}{z}-(1+i)\right|=\sqrt{2} $$

が成り立つ。したがって、$\dfrac{1}{z}$ は複素数平面における中心 $P$、半径 $\sqrt{2}$ の円周上にある。