数学C 複素数平面(軌跡問題) 問題 11 解説

方針・初手

$w=z+\dfrac{1}{z}$ は、$z$ を極形式で表すと実部と虚部が直接求められる。

また、条件 $|z+1|=|z-i|$ は、複素数平面上で点 $z$ が $-1$ と $i$ から等距離にあることを表す。したがって、まずこの条件を直線の方程式に直し、$0<\theta<\pi$ と合わせて $\theta$ を決める。

解法1

$z=r(\cos\theta+i\sin\theta)$ であり、$r>0$ である。

このとき

$$ \begin{aligned} \frac{1}{z} &= \frac{1}{r(\cos\theta+i\sin\theta)}\\ &= \frac{1}{r}(\cos\theta-i\sin\theta) \end{aligned} $$

であるから、

$$ \begin{aligned} w &=z+\frac{1}{z} \\ &=r(\cos\theta+i\sin\theta)+\frac{1}{r}(\cos\theta-i\sin\theta) \\ &=\left(r+\frac{1}{r}\right)\cos\theta +i\left(r-\frac{1}{r}\right)\sin\theta \end{aligned} $$

となる。

よって、$w=u+iv$ とおくと、

$$ u=\left(r+\frac{1}{r}\right)\cos\theta,\qquad v=\left(r-\frac{1}{r}\right)\sin\theta $$

である。

次に、条件 $|z+1|=|z-i|$ を調べる。$z=x+iy$ とおくと、

$$ |z+1|^2=(x+1)^2+y^2 $$

であり、

$$ |z-i|^2=x^2+(y-1)^2 $$

である。したがって、

$$ (x+1)^2+y^2=x^2+(y-1)^2 $$

より、

$$ x^2+2x+1+y^2=x^2+y^2-2y+1 $$

となるので、

$$ x=-y $$

である。

つまり点 $z$ は直線 $y=-x$ 上にある。さらに $0<\theta<\pi$ であるから、点 $z$ は上半平面にある。したがって $y>0$ であり、直線 $y=-x$ 上では $x<0$ となる。

よって、点 $z$ は第 $2$ 象限の半直線上を動き、

$$ \theta=\frac{3\pi}{4} $$

である。

したがって、

$$ \cos\frac{3\pi}{4}=-\frac{\sqrt2}{2}, \qquad \sin\frac{3\pi}{4}=\frac{\sqrt2}{2} $$

より、

$$ u=-\frac{\sqrt2}{2}\left(r+\frac{1}{r}\right), \qquad v=\frac{\sqrt2}{2}\left(r-\frac{1}{r}\right) $$

である。

この2式から $r$ を消去する。まず、

$$ u^2 = \frac{1}{2}\left(r+\frac{1}{r}\right)^2 $$

かつ

$$ v^2 = \frac{1}{2}\left(r-\frac{1}{r}\right)^2 $$

であるから、

$$ \begin{aligned} u^2-v^2 &=\frac{1}{2}\left\{\left(r+\frac{1}{r}\right)^2-\left(r-\frac{1}{r}\right)^2\right\} \\ &=\frac{1}{2}\left\{\left(r^2+2+\frac{1}{r^2}\right)-\left(r^2-2+\frac{1}{r^2}\right)\right\} \\ &=2 \end{aligned} $$

となる。

また、$r>0$ より

$$ r+\frac{1}{r}\geqq 2 $$

であるから、

$$ u=-\frac{\sqrt2}{2}\left(r+\frac{1}{r}\right)\leqq -\sqrt2 $$

である。

したがって、点 $w$ の描く図形は

$$ u^2-v^2=2,\qquad u\leqq -\sqrt2 $$

で表される双曲線の左側の枝である。複素数平面上では、横軸を $u$、縦軸を $v$ とすると、頂点は $(-\sqrt2,0)$、漸近線は

$$ v=\pm u $$

である。

最後に極限を求める。

$$ u=-\frac{\sqrt2}{2}\left(r+\frac{1}{r}\right) $$

より、$r\to\infty$ のとき $r+\dfrac{1}{r}\to\infty$ であるから、

$$ \lim_{r\to\infty}u=-\infty $$

である。

また、

$$ v=\frac{\sqrt2}{2}\left(r-\frac{1}{r}\right) $$

より、$r\to0+$ のとき $-\dfrac{1}{r}\to-\infty$ であるから、

$$ \lim_{r\to0}v=-\infty $$

である。

解説

$z+\dfrac{1}{z}$ は、極形式にすると実部と虚部がそれぞれ

$$ \left(r+\frac{1}{r}\right)\cos\theta,\qquad \left(r-\frac{1}{r}\right)\sin\theta $$

の形に分かれる。ここがこの問題の基本である。

また、$|z+1|=|z-i|$ は、点 $z$ が $-1$ と $i$ から等距離にあるという意味であり、垂直二等分線を表す。座標で計算しても $y=-x$ が得られる。さらに $0<\theta<\pi$ によって上半平面に限定されるため、$\theta=\dfrac{3\pi}{4}$ と決まる。

その後は $u,v$ の式から $r$ を消去すればよい。$r>0$ による $u\leqq-\sqrt2$ の条件を忘れると、双曲線全体を答えてしまうので注意が必要である。

答え

(1)

$$ u=\left(r+\frac{1}{r}\right)\cos\theta,\qquad v=\left(r-\frac{1}{r}\right)\sin\theta $$

(2)

$$ u^2-v^2=2,\qquad u\leqq-\sqrt2 $$

点 $w$ の描く図形は、頂点 $(-\sqrt2,0)$、漸近線 $v=\pm u$ をもつ双曲線の左側の枝である。

また、

$$ \lim_{r\to\infty}u=-\infty,\qquad \lim_{r\to0}v=-\infty $$