数学C 複素数平面(軌跡問題) 問題 12 解説

方針・初手

$\alpha$ を極形式で表すことが初手である。分母を有理化すると

$$ \alpha=\frac{\sqrt{2}}{1-i} =\frac{\sqrt{2}(1+i)}{(1-i)(1+i)} =\frac{1+i}{\sqrt{2}} $$

となるので、これは偏角 $\dfrac{\pi}{4}$、絶対値 $1$ の複素数である。したがって

$$ \alpha=\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4} $$

として処理すればよい。

解法1

まず

$$ \alpha=\frac{1+i}{\sqrt{2}} =\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4} $$

である。

(1)

ド・モアブルの定理より

$$ \alpha^{2019} = \cos\frac{2019\pi}{4} +i\sin\frac{2019\pi}{4} $$

である。指数は $8$ 周期で考えればよい。実際、

$$ 2019=8\cdot 252+3 $$

だから、

$$ \alpha^{2019}=\alpha^3 $$

である。よって

$$ \alpha^{2019} = \cos\frac{3\pi}{4} +i\sin\frac{3\pi}{4} = -\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}i $$

となる。

したがって

$$ \alpha^{2019}=\frac{-1+i}{\sqrt{2}} $$

である。

(2)

まず

$$ \alpha^2 = \left(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}\right)^2 \cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2} =i $$

である。したがって、条件式は

$$ \beta^3=8i $$

となる。

ここで

$$ 8i=8\left(\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2}\right) $$

であるから、$\beta=re^{i\theta}$ とおくと

$$ r^3=8,\qquad 3\theta=\frac{\pi}{2}+2k\pi $$

を満たす。よって

$$ r=2,\qquad \theta=\frac{\pi}{6}+\frac{2k\pi}{3} $$

である。ただし、異なる解は $k=0,1,2$ の $3$ 個で尽くされる。

したがって

$$ \beta = 2\left(\cos\left(\frac{\pi}{6}+\frac{2k\pi}{3}\right) +i\sin\left(\frac{\pi}{6}+\frac{2k\pi}{3}\right)\right) \quad (k=0,1,2) $$

である。

各値を具体的に計算すると、

$$ \begin{aligned} k=0&:\quad \beta=2\left(\cos\frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6}\right)=\sqrt{3}+i,\\ k=1&:\quad \beta=2\left(\cos\frac{5\pi}{6}+i\sin\frac{5\pi}{6}\right)=-\sqrt{3}+i,\\ k=2&:\quad \beta=2\left(\cos\frac{3\pi}{2}+i\sin\frac{3\pi}{2}\right)=-2i. \end{aligned} $$

よって、求める $\beta$ は

$$ \beta=\sqrt{3}+i,\quad -\sqrt{3}+i,\quad -2i $$

である。

(3)

$z$ は原点を中心とする半径 $1$ の円上を動くので、

$$ z=\cos\theta+i\sin\theta $$

とおける。このとき $|z|=1$ であるから

$$ \frac{1}{z}=\overline{z}=\cos\theta-i\sin\theta $$

である。

したがって

$$ \begin{aligned} z+\frac{1}{z} &= (\cos\theta+i\sin\theta)+(\cos\theta-i\sin\theta)\\ &= 2\cos\theta \end{aligned} $$

となる。よって

$$ w = \alpha z+\frac{\alpha}{z} \alpha\left(z+\frac{1}{z}\right) 2\alpha\cos\theta $$

である。

ここで $\cos\theta$ は $-1$ 以上 $1$ 以下のすべての実数値をとるので、$2\cos\theta$ は

$$ -2\le 2\cos\theta\le 2 $$

を満たすすべての実数値をとる。したがって

$$ w=t\alpha\qquad (-2\le t\le 2) $$

と表される。

また

$$ \alpha=\frac{1+i}{\sqrt{2}} $$

だから、

$$ w=t\frac{1+i}{\sqrt{2}} $$

である。$w=x+yi$ とおくと、

$$ x=\frac{t}{\sqrt{2}},\qquad y=\frac{t}{\sqrt{2}} $$

であるから

$$ y=x $$

を満たす。さらに $-2\le t\le 2$ より

$$ -\sqrt{2}\le x\le \sqrt{2} $$

である。

よって、点 $w$ 全体は、複素数平面上の直線 $y=x$ 上の線分

$$ (-\sqrt{2},-\sqrt{2})\ \text{から}\ (\sqrt{2},\sqrt{2}) $$

である。

複素数で表せば、端点は

$$ -2\alpha=-\sqrt{2}-\sqrt{2}i,\qquad 2\alpha=\sqrt{2}+\sqrt{2}i $$

である。

解説

$\alpha$ は一見分数形だが、有理化すると単位円上の基本的な複素数

$$ \alpha=\frac{1+i}{\sqrt{2}} $$

になる。この問題は、ここに気づけば全体がかなり単純になる。

(1) は $\alpha$ の偏角が $\pi/4$ であることから、指数を $8$ で割った余りで処理する。

(2) は $\alpha^2=i$ としてから、$8i$ の $3$ 乗根を求める問題になる。偏角を $2\pi$ ずつずらしてから $3$ で割ることが重要である。

(3) は $|z|=1$ より $\dfrac{1}{z}=\overline{z}$ を使うのが核心である。これにより $z+\dfrac{1}{z}=2\cos\theta$ が実数になるため、$w$ は $\alpha$ 方向の線分を動く。

答え

(1)

$$ \alpha^{2019}=\frac{-1+i}{\sqrt{2}} $$

(2)

$$ \beta=\sqrt{3}+i,\quad -\sqrt{3}+i,\quad -2i $$

(3)

点 $w$ 全体は、複素数平面上の直線 $y=x$ 上の線分であり、端点は

$$ -\sqrt{2}-\sqrt{2}i,\qquad \sqrt{2}+\sqrt{2}i $$

である。