数学C 複素数平面(軌跡問題) 問題 18 解説

方針・初手

$w=\dfrac{1}{z}$ であるから、$z=\dfrac{1}{w}$ とおき直し、$z$ が満たす直線や線分の条件を $w$ の条件に変換する。

特に、垂直二等分線は「2点からの距離が等しい点の集合」として表すと扱いやすい。

解法1

(1)

点 $z$ が点 $\alpha$ と原点 $O$ を結ぶ線分の垂直二等分線 $L$ 上にあることは、

$$ |z-\alpha|=|z| $$

と表される。

ここで $z=\dfrac{1}{w}$ とおく。ただし $z\neq 0$ であるから $w\neq 0$ である。これを代入すると、

$$ \left|\frac{1}{w}-\alpha\right|=\left|\frac{1}{w}\right| $$

である。両辺に $|w|$ をかけて、

$$ |1-\alpha w|=1 $$

を得る。

$\alpha\neq 0$ なので、

$$ |1-\alpha w| = |\alpha|\left|w-\frac{1}{\alpha}\right| $$

であるから、

$$ \left|w-\frac{1}{\alpha}\right| = \frac{1}{|\alpha|} $$

となる。

したがって、$w$ は中心 $\dfrac{1}{\alpha}$、半径 $\dfrac{1}{|\alpha|}$ の円上を動く。

ただし、$w=\dfrac{1}{z}$ であるから $w=0$ はとれない。一方で、この円は

$$ \left|0-\frac{1}{\alpha}\right| = \frac{1}{|\alpha|} $$

を満たすので、点 $0$ を通る。よって軌跡は、この円から点 $0$ を除いたものである。

(2)

$1$ の $3$ 乗根のうち虚部が正であるものは

$$ \beta=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i $$

である。また、

$$ \beta^2=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i $$

である。

したがって、点 $\beta$ と点 $\beta^2$ を結ぶ線分は

$$ z=-\frac{1}{2}+it \qquad \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\leq t\leq \frac{\sqrt{3}}{2}\right) $$

と表される。

このとき

$$ \begin{aligned} w=\frac{1}{z} &= \frac{1}{-\frac{1}{2}+it}\\ &= \frac{-\frac{1}{2}-it}{\frac{1}{4}+t^2} \end{aligned} $$

である。

$w=x+iy$ とおくと、

$$ x=-\frac{1}{2\left(\frac{1}{4}+t^2\right)}, \qquad y=-\frac{t}{\frac{1}{4}+t^2} $$

である。

また、$z=\dfrac{1}{w}$ として、線分を含む直線 $\operatorname{Re} z=-\dfrac{1}{2}$ の条件を $w$ で表す。$w=x+iy$ とすると、

$$ \frac{1}{w} = \frac{x-iy}{x^2+y^2} $$

であるから、

$$ \operatorname{Re}\frac{1}{w} = \frac{x}{x^2+y^2} $$

である。したがって

$$ \frac{x}{x^2+y^2}=-\frac{1}{2} $$

より、

$$ x^2+y^2+2x=0 $$

すなわち

$$ (x+1)^2+y^2=1 $$

を得る。

よって、$w$ は中心 $-1$、半径 $1$ の円上にある。

次に、線分の範囲を調べる。$z=-\dfrac{1}{2}+it$ において

$$ -\frac{\sqrt{3}}{2}\leq t\leq \frac{\sqrt{3}}{2} $$

である。先ほどの式

$$ x=-\frac{1}{2\left(\frac{1}{4}+t^2\right)} $$

を見ると、$t^2$ は

$$ 0\leq t^2\leq \frac{3}{4} $$

を動くので、

$$ -2\leq x\leq -\frac{1}{2} $$

である。

したがって、軌跡は

$$ |w+1|=1,\qquad \operatorname{Re}w\leq -\frac{1}{2} $$

で表される円弧である。

端点について確認すると、

$$ z=\beta \quad \Rightarrow \quad w=\frac{1}{\beta}=\beta^2 $$

であり、

$$ z=\beta^2 \quad \Rightarrow \quad w=\frac{1}{\beta^2}=\beta $$

である。また、線分の中点 $z=-\dfrac{1}{2}$ に対しては

$$ w=-2 $$

となる。

したがって図示する場合は、中心 $-1$、半径 $1$ の円のうち、端点 $\beta,\beta^2$ を結び、点 $-2$ を通る左側の弧を描けばよい。

解説

$w=\dfrac{1}{z}$ は、直線や円を別の直線・円に移す変換である。ただし、$w=0$ は有限の $z$ からは得られないため、除外点の確認が必要である。

(1)

では、垂直二等分線を $|z-\alpha|=|z|$ と置くのが最短である。これに $z=\dfrac{1}{w}$ を代入すると、すぐに円の方程式が出る。

(2)

では、まず線分を

$$ z=-\frac{1}{2}+it $$

と表すと、どの部分の円弧になるかまで確認しやすい。全直線 $\operatorname{Re}z=-\dfrac{1}{2}$ は円 $|w+1|=1$ に移るが、線分だけを動くため、そのうち左側の弧だけが軌跡になる。

答え

(1)

$w$ の軌跡は

$$ \left|w-\frac{1}{\alpha}\right| = \frac{1}{|\alpha|} $$

で表される円から点 $0$ を除いたもの。

中心は

$$ \frac{1}{\alpha} $$

半径は

$$ \frac{1}{|\alpha|} $$

である。

(2)

$w$ の軌跡は

$$ |w+1|=1,\qquad \operatorname{Re}w\leq -\frac{1}{2} $$

で表される円弧である。

これは、中心 $-1$、半径 $1$ の円のうち、点 $\beta$ と点 $\beta^2$ を端点とし、点 $-2$ を通る左側の弧である。