数学C 複素数平面(軌跡問題) 問題 19 解説

方針・初手

写像 $w=\dfrac{1}{z}$ では $z=\dfrac{1}{w}$ とおける。したがって、円 $C$ の条件 $|z-\alpha|=r$ に $z=\dfrac{1}{w}$ を代入し、$w$ の満たす方程式を円の標準形に変形すればよい。

解法1

(1)

点 $z$ は円 $C$ 上を動くので、

$$ |z-\alpha|=r $$

である。ここで $C$ は原点を通らないから、円周上の点 $z$ について $z\neq 0$ であり、$w=\dfrac{1}{z}$ が定義できる。

$z=\dfrac{1}{w}$ を代入すると、

$$ \left|\frac{1}{w}-\alpha\right|=r $$

である。$w\neq 0$ だから、両辺に $|w|$ を掛けて

$$ |1-\alpha w|=r|w| $$

を得る。両辺を2乗すると、

$$ (1-\alpha w)(1-\overline{\alpha},\overline{w})=r^2w\overline{w} $$

である。これを展開して整理すると、

$$ (|\alpha|^2-r^2)|w|^2-\alpha w-\overline{\alpha},\overline{w}+1=0 $$

となる。

ここで、$C$ が原点を通らないことから

$$ |\alpha|\neq r $$

である。したがって

$$ A=|\alpha|^2-r^2 $$

とおくと、$A\neq 0$ である。

上の式を $A$ で割ると、

$$ |w|^2-\frac{\alpha}{A}w-\frac{\overline{\alpha}}{A}\overline{w}+\frac{1}{A}=0 $$

となる。これを平方完成する。

中心を

$$ \beta=\frac{\overline{\alpha}}{A} $$

とおくと、$\overline{\beta}=\dfrac{\alpha}{A}$ であるから、

$$ |w-\beta|^2 = |w|^2-\frac{\alpha}{A}w-\frac{\overline{\alpha}}{A}\overline{w} +\frac{|\alpha|^2}{A^2} $$

である。よって、$w$ の方程式は

$$ |w-\beta|^2 = \frac{|\alpha|^2}{A^2}-\frac{1}{A} $$

となる。右辺は

$$ \begin{aligned} \frac{|\alpha|^2}{A^2}-\frac{1}{A} &= \frac{|\alpha|^2-A}{A^2}\\ &= \frac{|\alpha|^2-(|\alpha|^2-r^2)}{A^2}\\ &= \frac{r^2}{A^2} \end{aligned} $$

である。

したがって、

$$ \left|w-\frac{\overline{\alpha}}{|\alpha|^2-r^2}\right| = \frac{r}{\left||\alpha|^2-r^2\right|} $$

となる。よって、$C'$ は円であり、その中心と半径はそれぞれ

$$ \frac{\overline{\alpha}}{|\alpha|^2-r^2}, \qquad \frac{r}{\left||\alpha|^2-r^2\right|} $$

である。

(2)

$C$ と $C'$ が一致するとする。同じ円であるから、中心と半径がそれぞれ一致する。

$A=|\alpha|^2-r^2$ とおくと、(1)より $C'$ の中心と半径は

$$ \frac{\overline{\alpha}}{A}, \qquad \frac{r}{|A|} $$

である。したがって、

$$ \alpha=\frac{\overline{\alpha}}{A}, \qquad r=\frac{r}{|A|} $$

が成り立つ。

$r>0$ であるから、半径の一致より

$$ |A|=1 $$

である。したがって

$$ A=1 \quad \text{または} \quad A=-1 $$

である。

また、中心の一致より

$$ A\alpha=\overline{\alpha} $$

である。$\alpha=a+bi$ とおく。ただし $a,b$ は実数である。

(i)

$A=1$ のとき

$$ \alpha=\overline{\alpha} $$

であるから、

$$ a+bi=a-bi $$

となる。よって $b=0$ であり、$\alpha$ は実数である。すなわち、$\alpha$ は実軸上にある。

(ii)

$A=-1$ のとき

$$ -\alpha=\overline{\alpha} $$

であるから、

$$ -a-bi=a-bi $$

となる。よって $a=0$ であり、$\alpha$ は純虚数である。すなわち、$\alpha$ は虚軸上にある。

以上より、$C$ と $C'$ が一致するとき、$C$ の中心 $\alpha$ は実軸上または虚軸上にある。

解説

この問題の要点は、反転 $w=\dfrac{1}{z}$ による円の像を直接求めることである。円の条件 $|z-\alpha|=r$ に $z=\dfrac{1}{w}$ を代入し、絶対値を外して $w,\overline{w}$ の式に直すと、円の一般形が現れる。

特に重要なのは、$C$ が原点を通らないという条件である。この条件により $|\alpha|\neq r$、すなわち $|\alpha|^2-r^2\neq 0$ となるため、方程式を円の標準形に変形できる。

また、$w=\dfrac{1}{z}$ は複素数平面では単なる反転ではなく、共役が関わるため、像の中心に $\overline{\alpha}$ が現れる。ここを $\alpha$ と取り違えると誤答になる。

答え

(1)

$C'$ は円であり、その中心は

$$ \frac{\overline{\alpha}}{|\alpha|^2-r^2} $$

半径は

$$ \frac{r}{\left||\alpha|^2-r^2\right|} $$

である。

(2)

$C$ と $C'$ が一致するとき、$\alpha$ は実軸上または虚軸上にある。